프리드버그 스펙트럼 정리 배우고 그거 적용하는 연습문제인데요.

사진처럼 고유값 고유벡터 각각 구하고
T_1은 standard basis를 고유값 1에 의한 eigenspace ( 즉 v1로 만들어지는 공간 ) 로 옮겨주는 변환이고 T2는 같은걸 v2에 의해서 했어요.

이 과정에서는 unitary matrix를 구해서 E11행렬( 1,1만 0 )이용해서 그거에 앞두고 P,P^*곱해서 구하고 계산하니 스펙트럼 정리를 만족해서 행렬은 제대로 구한 것 같은데요.

사진 맨 아래 부분이 의문입니다. 맨 아래부분에서 왼쪽은 행렬에 의해 (1,0)을 변환시켰는데. 이 때 v1이 만드는 공간으로 projection되었다고 생각해서 오른쪽과 같이 계산해도 똑같은 결과가 나와야한다고 생각했는데 i를 곱한 것 만큼 차이가 나더라구요.

어느 부분에서 오개념이 생긴건지 왜 i만큼의 곱 차이가 나는지 궁금해서 질문드립니다.
그리고 만약 제가 처음 구한 것처럼 안구하고 마지막의 오른쪽처럼 투영시켜서 행렬을 구하면 스펙트럼 정리 만족이 안되는 것 같은데. 저 방식은 어떤 부분에 문제가 있는걸까요??