사진은 김김계 3.5.8을 푼거고
f : (0,inf) -> R , 연속, lim(f(x+1) - f(x)) = a
이면 lim f(x)/x = a 임을 증명하는게 문제임.
극한은 x -> inf임.
오늘 이 문제에서 f의 연속 조건을 없앨 수 있겠냐는 질문을 받음. a =0이라 하고 가우스함수같은 쉽게 떠올릴 수 있는 불연속함수들과 디리클레함수, 토메함수 다 넣어봤는데 성립하더라 반례를 못찾겠음.
혹시 반례 찾아줄사람?
그리고 당연히 문제를 어떻게 풀지도 생각해봤는데 사진이 내 풀이임. 하지만 풀이가 굉장히 꺼림칙한 느낌이 드는게 아주 안좋아.. 틀린 부분이 있을텐데 누가 잡아주셈
내 생각엔 아마 밑에서 두번째줄 수식에 가정
lim(f(x+1) - f(x)) = 0 을 그대로 적용할 수 없는것 같음.
첫째줄에 알파=0이라면서 4째줄에 0<알파<1 은 머임?
아 미친 기호 겹쳤네.. ㅈㅅㅈㅅ 그냥 0과 1 사이의 실수로 생각하면 됨
그래도 4째줄이 잘 이해 안되는듯. x>M인 모든 x에 대해 고정된 n과 알파가 존재한다는 뜻임?
n <= x < n+1인 자연수 n이 존재하니까 마찬가지로 x가 크면 n <= x-a < n+1인 자연수 n이 존재한다는 말임. a는 0과 1 사이의 실수로 잡음. 맨 앞에서 0으로 잡은것과 다르게 씀. 내가 기호를 겹치게 써서 혼동하게 만든듯
그럼 n은 x에 따라 바뀌는 값이고 알파는 x가 바껴도 고정된다는 뜻임?
ㅇㅇ 맞음
그럼 밑에서 세번째줄의 M이랑 m도 x에 대해 변하는 값 아님? 밑에서 두번째줄의 우변이 0으로 수렴하는지 어떻게암
그리고 각 항이 0으로 수렴한다고해도 x가 커지면 n도 무한히 커지는데 0으로 수렴하는 함수를 무한번 더한다고 해서 0으로 수렴할지 어떻게암
그 윗줄에 f가 [a,1+a]에서 연속이기 때문에 유계이고 따라서 최소 m과 최대 M이 존재함. x-n은 x값에 상관없이 [a,1+a]의 원소라 m,M이 x에 따라 바뀌는 값은 아님. 그러고보니 내가 풀이 쓸 때 m,M을 최소,최대라 한다고 안썼네.. 밑에서 두번째줄 수식이 0으로 간다는걸 보장 못한다는건 나도 그렇게 생각함. 이거 풀이 못살리겠지?
n이 x에 상관없이 고정된 값이면 괜찮은데 x에 따라 변하는 값인게 문제네 이제 어떡하지
애당초 님 풀이가 다 맞다 쳐도 첨에 0이아닌 A로 수렴한다해도 맨 밑에 0으로 수렴하는거 나옴. lim 수렴꼴/무한대꼴 = 0 이라서
이거 어케품? 아이디어좀 말해줘
나도몰러
갸아아아아악 괘, 괜찮아.. 개강하고 다른애들하고 머리 맞대고 얘기하다보면 분명 풀릴거야.. 그렇지?
힌트줘? [0,1]에서 uniformly continuous인거 써봐
0은 안들어가니까 [1,2]라고 해야겠네 아무튼
밑의 반례가 나오는 이유가 mod 1로 다른 애들은 각자 수렴하는 속도가 다 달라서 그렇단 건데 uniform contiunuity로 그 속도를 맞춰줄 수가 있음
반례는 예를 들어서 f(x)가 [ m+1/(n+1), m+1/n )에서 m>n이면 ax, 아니면 bx인걸로 하면 됨 (a!=b)
ㄱㅅㄱㅅ