어딘가에서 봤던 경시 문제로 기억하는데
<< 자연수로 이루어진 역삼각형이 있다; 규칙은 위의 두수의 차가 아래의 수와 같다는 것이다.
1 6 4
5 2
3
와 같이 1~5050 까지의 자연수가 빠지거나 겹침없이 하나씩 들어간 길이 100 역삼각형을 만들 수 있을까? >>
답은 안된다. 라고 기억하는데 길이 n이 몇 이상부터는 안되고 그게 100 이하이다 식으로 푸는거 같은데
누가 확실한 풀이좀 구할 수 있겠음?
<< 자연수로 이루어진 역삼각형이 있다; 규칙은 위의 두수의 차가 아래의 수와 같다는 것이다.
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와 같이 1~5050 까지의 자연수가 빠지거나 겹침없이 하나씩 들어간 길이 100 역삼각형을 만들 수 있을까? >>
답은 안된다. 라고 기억하는데 길이 n이 몇 이상부터는 안되고 그게 100 이하이다 식으로 푸는거 같은데
누가 확실한 풀이좀 구할 수 있겠음?
다른것도 못하지먼 이런쪽은 진짜 못하겠네
역삼각형의 모든 부분역삼각형도 성질을 만족한다는역삼각형의 부분도 역삼각형인점, 모든 역삼각형은 꼭지부터 시작해서 한층씩 올라가면 단조 증가하는 수열을 제공한다는 점 등이 눈에 걸리는데. 조합을 이용해서 직접 뭔가 형상화할 실력이 안됨. 씁... 이걸
ㅇㅇ. 맨 윗행의 가장큰게 그 아래행의 가장큰것보다 크고.. 기타등등 보이긴 하는데 나도 그 이상이 안됨. 의미없는 정보만 나열하는 느낌이다. 조합은 고딩때 하고 잊어버림. 그때도 순열조합은 다른것보다 실력 안좋았어 ㅋ
모바일 왜이래
종일 고민했는데 조금 알 것 같음. n-역삼각형이란게 존재한다고 가정함, 꼭지부터 한층 위의 인접한 두수중 큰쪽으로 따라가면서 얻은 수열을 a_i; i=1,...n 이라함. 이 a_i 수열은 계속 서로 다른 자연수가 더해지며 단조증가함 즉 일반적으로 a_i+k >= a_i+(1+...+k) 고 a_n >= a_1+(1+...+n-1) >= (1+...+n)
한편 n-역삼각형이 갖는 최대수는 저 부등식의 우변임. 즉 a_i = {1,2,...,n} 임. 그럼 어떤 부분삼각형이 n+1 이상의 수로 시작해서 (1+...+n) 을 초과하는 증가수열을 갖는지를 알아보면됨.
a_i = {i(i+1)/2 : i=1,...,n} 이네 실수. 이 부분삼각형을 a_n 이 자신의 윗변의 꼭지에 위치하는 역삼각형으로 정하면 이 삼각형에서 상승하는 단조증가 수열 w_i 가 작아봐야 1,3,4+n,6+2n,... 으로 주어짐. 이것의 길이가 L이면 w_L >= 1+2+(n+1)+...+(n+L-2) = L^2-(n-3)L+5-2n.
위의 예(n:=3)에서 <a_i>_(i=<n) = <3, 5, 6>인데 a_i ≠ i × (i + 1) ÷ 2이지 않나요? 제가 잘못 이해한 건가요?
기괴공학도) 지금보면 이 말이 틀린거 같음. 하려던 말은 a_1 = 1or...or n 이고 a_2=a_1+ (1or...or n) a_i+1 - a_i = 1or...or n 이라는 거였음.
진짜 진짜 죄송한데 10번 읽었는데도 제 머리가 안 좋아서 님의 드라마틱한 풀이를 이해할 수가 없습니다. 풀이를 깔끔하고 헷갈리지 않게 정리해서 새로 글 써주시면 안 될까요?
수열 w가 뭔지도 모르겠고 w_i가 왜 n으로 나타나는지도 모르겠어요. 죄송합니다.
* * | a6 * w4 * * a5 | * w3 * * * | a4 w2 * a3 | w1 a2 * a1 n=6이면 뭐 이렇게 그려지는거
아니다 (L^2+(2n-3)L+8-4n)/2 임. 한편 이런 삼각형은 두개가 있고 둘의 윗변은 원래 삼각형의 윗변을 둘로 나누니까 큰놈의 길이 L은 (n-1)/2 이상임. 다시 w_L >= (5n^2-28n+39)/8 이고, a_n = (n^2+n)/2 니까 n^2-32n+39 > 0 일때 즉 자연수 n이 30 넘어가면 w_L > a_n 인데 이는 모순.
귀류법에 의해 n=100 이면 w_L > a_100 이고 100-역삼각형은 진즉 존재할 수 없었음
암산 자꾸 띨빵하게 하는데 뭐 접근자체는 맞는거 같으니까..