예전에 영재고 입시수학이랑 대학수학이랑 다르다는 얘기가 나와서

영재고 입시에서는 어떤 사고를 필요로 하는지 예시로 알아볼 것이다.

수갤럼들은 나보다 똑똑한 사람이 많으니

뷔퐁의 바늘 문제가 어떤 것인지 알 것이다.

보통은 문제 상황이 y축(바닥 선과 평행한 축)에 대한 대칭이니

바늘이 떨어진 x좌표와 바늘이 돌아간 각도 이 2개의 공간을 만들어

기하적 확률을 이용해 그 값을 구한다.

그런데 이 방법은 미적분을 활용해야 한다.    

미적분 없이도 이 문제를 풀 수 있을까?



답은 있다 이다.

자, 길이가 1(바닥에 그어진 두 선 사이의 간격)인 바늘이 떨어졌을 때

선과 바늘이 만날 확률을 p라고 하자.

그렇다면 바늘과 선의 교점 개수의 기댓값은 p가 될 것이다.

그렇다면 길이가 2인 바늘을 떨어뜨렸을 때 교점 수 기댓값은?

이는 길이가 1인 선분 2개로 볼 수 있으므로 기댓값은 2p가 된다.

자, 만약 길이가 2인 바늘이 길이가 1인 두 부분으로 구부러졌을 때 이 기댓값이 변화 할까?

우리는 쉽게 그렇지 않다는 것을 알 수 있다.

따라서 길이가 x인 바늘을 던졌을 때 교점의 기댓값은 xp가 된다(모양에 상관없이)

자 이제 지름이 1인 원을 생각해 보자.

이 원을 던지면 바닥과 무조건 2개의 교점이 생긴다.

이 원의 둘레는 pi이다.

따라서 2 = pi * p가 된다.

따라서 p=2/pi이다.


이 풀이는 18세기에 한 수학자에 의해 만들어졌으며

안타깝게도 대학시절 이 논문을 발표한 수학자는

대학 이후 소식이 끊겼고

근황이 궁금해진 교수는

그를 정신병원에서 찾았다고 한다.


영재고식 사고는 위처럼 첫째 엄밀함 보다는 직관이 중요하다

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