밑 글 질문에 대한 답.

1. 가능한가?
아니다.
증명)
"관계식"은 다음 기호들로 이루어진다:
+, *, -, ÷, (, ), |, x, y, 그리고 모든 실수
이 기호들을 모은 집합을 L이라 하자. 당연하게도 |L|=|R|이다.
임의의 관계식은 L의 원소를 유한 개 나열해 둔 것이다. 그러므로 |L|의 원소를 유한 개 나열하여 만들어진 "문장"들을 모두 모아 집합 S를 만든다면, S는 모든 관계식을 포함한다(S에 포함된 "문장"들이 모두 관계식이 되는 것은 아니다. 예를 들어, "x+(÷|"도 S의 원소이다). |S|=|R|이다.
만약 "관계식"만으로 모든 도형을 표현할 수 있다면, 관계식들의 집합에서 도형들의 집합으로 가는 전사함수가 있어야 한다(관계식을 그것이 표현하는 도형으로 대응). 그런데 "도형"은 R^2의 임의의 부분집합이므로, 도형들의 집합은 카디널리티가 |P(R)|이고, 관계식들의 집합은 카디널리티가 |R|인 S의 부분집합이므로 그런 전사함수는 존재할 수 없다. 따라서 "관계식"으로 표현하지 못하는 도형이 존재한다(관계식에 제곱근 등 카디널리티를 바꾸지 않는 선에서 다른 기호를 추가하는 것을 허용하더라도 결과는 같을 것이다).

2. y=1, 0<=x<=1의 경우는?
f(x,y)=(|x|+|x-1|-1)^2+(y-1)^2=0 으로 표현 가능.