f.d.v.s V가 존재하고 그 dual space V*는 isomorphic함은 알고 있는데
V의 basis a={a1, a2, a3,...,an} 과 그것의 dual basis a*가 존재하고
V의 또다른 basis b={b1,....,bn} 과 그것의 dual basis b*를 잡아주었을때
a와 b*의 일대일 대응관계를 적당히 잡아주는 linear function pi를 잡아주면
결과적으로 pi가 isomorphism 일거라고 생각하는데 제가 생각하는게 맞는지 궁금합니다.
매스스택익스체인지나 그런곳에서도 관련 내용을 찾아 봤는데 들어둔 예시들은 전부 ai->ai*로 가는 대응 관계를 가지고 이야기 하는것 같더라구요 제가 이해한 isomorphism의 정의대로라면 굳이 i가 아니어도, 그리고 a*가 아니더라도 상관 없을거라고 생각했거든요
최종목표는 V->V**와 V×V*->F 와 같은것들이 왜 natural하다고 불리는지 이해하는것인데
혹시 이부분에 대해서 약간의 예시나 이유를 간략하게나마 설명해 주시면 더 좋을것 같습니다 ㅠ
V의 basis a={a1, a2, a3,...,an} 과 그것의 dual basis a*가 존재하고
V의 또다른 basis b={b1,....,bn} 과 그것의 dual basis b*를 잡아주었을때
a와 b*의 일대일 대응관계를 적당히 잡아주는 linear function pi를 잡아주면
결과적으로 pi가 isomorphism 일거라고 생각하는데 제가 생각하는게 맞는지 궁금합니다.
매스스택익스체인지나 그런곳에서도 관련 내용을 찾아 봤는데 들어둔 예시들은 전부 ai->ai*로 가는 대응 관계를 가지고 이야기 하는것 같더라구요 제가 이해한 isomorphism의 정의대로라면 굳이 i가 아니어도, 그리고 a*가 아니더라도 상관 없을거라고 생각했거든요
최종목표는 V->V**와 V×V*->F 와 같은것들이 왜 natural하다고 불리는지 이해하는것인데
혹시 이부분에 대해서 약간의 예시나 이유를 간략하게나마 설명해 주시면 더 좋을것 같습니다 ㅠ
원래 유한차원 벡터공간은 차원만 같으면 다 isomorphic함. 다만 isomorphism을 잡을 때 basis를 정해줘야 하기 때문에 natural하다고는 할 수 없지. 그런데 V와 V** 같은 경우는 basis를 생각하지 않고도 isomorphism을 생각해낼 수 있어서 자연스럽다고 하는거임.
답변 감사합니다 몇번 더 곱씹어보니 무슨느낌인지 알것 같습니다
basis끼리 대응시키면 isomorphism이긴 한데 크게 의미는 없지