뭔가 디시에 수식쓰기가 좀 어려운데 한번 쓱~ 읽어만 주면 좋겠음.

케일리-해밀턴 정리에서 주장하는 것은 작용소 f(A) (아래에서 정의) 가 체K에 대해 임의의 K^n의 원소 x를 0으로 만드는 작용소라는 거잖아.

증명법이 되게 많고, 다 나름대로의 방법으로 생각한것 같더라고.

근데 되게 단순하게 일반화고유공간을 이용해서 생각하면 쉽게 이해되더라고 ㅇㅇ


n차 정방행렬 A의 고유다항식을 f(s) := det(sI - A) = 모두곱하기(s - a_i)^{m_i} (a_i는 고유치, m_i는 중복도) 라고 나타내고

케일리-해밀턴 정리에서 말하는 f(A)는 (A - a_i*E)^{m_i}를 모든 i에 대해서 곱한 작용소란 말이지.

각각의 i에 대해 행렬 B_i 를 (A - a_i*E)^{m_i} 라고 정의하면 f(A)는 모든 i에 대해 B_i를 싹다 곱한것 이라고 말할수도 있고.

어쩌피 B_i는 A의 다항식"같은" 것들이니까 행렬곱에 대해서 가역, 즉 곱하는 순서는 관계없달까, 생각할 필요가 없다고 생각할수 있지.


고유치 a_i의 일반화 고유공간을 W_i := ker(A - a_i*E)^{m_i} = ker(B_i) 라고 하면, 

K^n은 일반화 고유공간의 direct complex로 분해 가능하잖아.

즉, 임의의 K^n의 원소 x는 W_i의 원소들의 1차 결합으로 나타낼수 있다는 뜻이지


근데 W_i의 정의에 의해 W_i의 임의의 원소는 f(A)를 곱하면 0이 되고( f(A)가 B_i를 포함하고, W_i는 B_i의 핵이니까)

x는 W_i의 원소의 1차결합이니까 f(A)를 곱하면 0이되야겠지.

이게 임의의 K^n의 원소에 의해서 성립하는 n차 정방행렬은 영행렬밖에 없으니까 f(A)는 영행렬


딱히 틀린부분은 잘 모르겠는데 케일리 해밀턴 정리를 이렇게 이해해도 되지 않을까~ 싶더라고

책에따라서 특성다항식 f(x)는 A의 annihilating polynomial(소멸다항식?) 이라고 설명하는 책도 있던데 

읽을때마다 왜 이게 소멸다항식이라는 있어보이는 이름까지 붙었나 싶었거든.


뭔가 주저리주저리 쓰기는 했는데 

의견 남겨주면 ㄱㅅ