'환 R의 임의의 원소 a에 대하여 a^2=0 이면 a=0 이다.' 의 대우명제가 뭘까?


    1. 임의의 원소 a에 대하여 a≠0 이면 a^2≠0 이다.

    2. a≠0 이면 a^2≠0 인 원소 a가 존재한다.


나는 2번 'a≠0 이면 a^2≠0 인 원소 a가 존재한다.' 라고 생각했는데


2020수학 임용 A12문항을 보면

   '모든 xㅌR 에 대하여 f(x)≠0 이거나 f'(x)≠0 이면 S는 유한집합이다.' 의 대우명제가

   'S가 무한집합이면 f(c)=f'(c)=0 인 cㅌR 이 존재한다.' 라고 했어.


그런데 고등학교 시절에 배운

   'x^2=x 이면 x^2=1 이다.' 의 대우명제는

   'x^2≠1 이면 x^2≠x 이다.' 잖아.


원래 명제에서 가정의 진리집합 P={0,1}, 결론의 진리집합 Q={-1,1} 이니까 거짓인 명제고

대우명제도 거짓이겠지.


그런데 위의 명제를

'임의의 xㅌR 에 대해서 x^2=x 이면 x^2=1 이다.' 라고 해석할 수 있고

내가 생각한대로라면 대우명제는

'x^2≠1 이면 x^2≠x 인 x가 존재한다.' 잖아.


그럼 원래 명제는 거짓이고, 대우명제는 그런 x가 존재하니까 참이여서 말이 안돼.


그렇다면 처음의 질문에서 대우명제는 1번이 맞는걸까?