x>0에서 f(x)<x,f(x)>0를 만족하는, f(0)=0인 임의의
함수 f(x)에 대해 t>0인 임의의 t에 대해
f_n(t)=f_(n-1)(f(t)) 라할때
lim n->inf f_n(t)=0이 항상성립함?
그림상에서의 저 직관만으로는. a_n이 감소수열임은 보장되나 임의의양수 p에대해 n>=K일때 0<a_n<p를 만족하는 자연수k의 존재성을 못보일것같기도하고..
(그림상에선 가는거같아보이지만 실제론 0에 가까워지기만할뿐 원하는만큼오차를줄일정도로가까워지진못한다든지)
이런건 그림으로증명이어렵잖아.
어떻게증명함?
- dc official App
p>1/K가 되게 K를 잡으면 되지 않나 그럼 0
왜? - dc App
x>f(x)>f(f(x))>f(f(f(x)))>…>0
x가0으로가는게이니라 그렇게해도 뭐보일순없음 - dc App
감소하며 유계인 수열은 수렴함. 이걸 아마 모르나보네
0으로 수렴하는지를 묻고 있는 듯
f^n(x)가 감소하며 >0이니까 어떤 a>=0으로 수렴하고, f(x)=x인 x>=0은 0밖에 없으니까 0으로 수렴하자나..
f가 연속이라면 맞고, 연속이 아니면 반례를 어렵지 않게 만들수 있지.
0에선 무조건연속인데 반례는 어떻게 나옴? - dc App
결국 관건은 x_n=f_n(t)라 할때 x_n은 감소수열이므로 lim x_n이 어떤 0 이상의 a로 수렴하는데, a가 0인지 아닌지 모르는거잖아. 만약 f가 x=a에서 연속이라면 a = lim x_n = lim x_{n+1} = lim f(x_n) = f(lim x_n) = f(a)를 연속성에 의해서 만족해야하는데, f(x)=x의 해는 x=0 뿐이므로 a=0인걸 아는데, f가 x=a에서 연속이 아니라면 이를 함부로 단정지을수 없지.
이 사실로부터, 임의의 a>0에 대해서, f가 x=a에서 불연속이 되게끔 얼마든지 본문의 반례를 만들어줄수 있음. 먼저 f(a) < a를 만족하게끔 f(a)를 잡아주고, 적당히 a로 수렴하는 감소수열 x_1>x_2>...을 잡고 (예를 들어서 x_n = a + 1/n), f(x_n) = x_{n+1}이 되면서 본문의 조건을 만족하는 함수를 만들어주면 됨. 그러면 t = x_1로 두면 lim f_n(t) = lim x_n = a>0이 됨.
이러한 f의 존재성은 적당히 0 이상 a 미만의 x에서는 f(x) = f(a)x/a로 정의하고, [x_{i+1}, x_i] 위의 x에 대해서는 f(x)의 그래프가 두 점 (x_i , x_{i+1})와 (x_{i+1}, x_{i+2})을 잇는 직선이 되게끔 만들어주면 됨. 그러면 f를 x=a를 제외한 나머지 점에서 연속이 되게끔 만들어줄 수 있음.