[일반] 유클리드 호제법은 도대체 어떻게 떠올린건가

[익명(brbr1414)]

단순히 이런거 말고도 수학적 이론들 보면 신기한게 많다. 뭔가 직관적으로 와닿은건지 아니면 규칙성을 발견하고 일반화한 것인지

[익명(223.38)]

그냥 5와 19의 최대공약수를 구할 때를 생각해봐. 어차피 17=15+4 니까 5와 4의 최대공약수와 같겠지 - dc App

[익명(223.39)]

유클리드 호제법은 민간에서도 증명 없이 썼었음. 3:4:5 삼각형이 직각삼각형임을 아는 것과 같이 경험적인거지 뭐

[익명(1.227)]

그건 좀 직관적이지 않나. 그냥 직사각형 정사각형으로 잘게 자르기인데

[익명(175.215)]

그 당시 수학 세계관이 수는 자연수, 그리고 사칙연산으로 만들 수 있는 수가 끝이다. 라는 교만한 생각이 가득 차있었음. 즉 자연수, 양의 유리수의 경우만 연구하면 수학은 끝이다. 라는 생각. 자연스럽게 두 수가 주어지면, 최대공약수를 찾기 시작함. 1/2과 1/3을 더한다면 3×(1/6)+2×(1/6) = 3a+2a라고 생각한다면 자연스럽게

[익명(175.215)]

5a=5/6 이 되는 것 처럼(1+1/2+3=2/5가 아니라) 또 당시 기하학이 지금의 양자역학처럼 최신 트랜디한 학문이라 도형으로 수를 연구했었음. 직사각형이 있을 때 가로와 세로의 최대공약수를 면 그냥 그걸 기준으로 자연수 (정수비)가 되니까.

[익명(175.215)]

그럼 또 자연스럼게 짧은 변을 기준으로 정사각 형을 만들고, 이렇게 또 새로운 직사각형이 만들어 지면, 또 짧은 변을 기준으로 정사각형을 만들고... 이 과정이 바로 유클리드 호제법 그 자체임.

[익명(brbr1414)]

역시 뭘 공부하든 역사를 공부하라는 말이 맞구만..

[익명(175.215)]

내가 말로는 최대공약수를 찾아야 한다고 적었지만 당시 사람들은 피타고라스 정리를 a^2 이니 이런말 보다 한 변의 길이가 a인 정사각형의 넓이. 이렇게 표현한 것 처럼, 직사각형의 가로,세로에서 합동인 정사각형을 빠짐없이 채우면 단순히 자연수의 관계가 된다는 점에서 착안한 거지. 그 합동인 정사각형의 변의 길이가 최대공약수이고

[익명(175.215)]

그 작은 합동정사각형을 찾는 구체적 방법이 작은변의 기준으로 정사각형을만들고 새롭게 만들어진 직사각형의 작은변(처음 긴변-작은변)을 기준으로 정사각형을 만들고... 이러다 보면 언젠가 직사각형의 길이비가 정사각형의 정수배가 되는데 (물론 처음 직사각형의 길이 비가 유리수일 때만 성립-당시 믿음에서는 상관없겠지만) 그 과정을 유클리드호제법이라고 부를 뿐이지

[익명(118.43)]

호제법은 말 그대로 서로 뺀다는 말이쟎음...여기서 단위길이만 가정되면 됨 즉 자연수에서 1처럼 더이상 쪼개지지 않는 길이..그럼 길이가 다른 두 나뭇가지가 있다고 하면 작은 가지로 큰가지에 대고 정수배만큼 토막내는거임 여기서 딱 떨어지게 토막나면 작은가지가 최대공약길이가 되는거고 만일 작은가지보다 작은 토막이 남았다면 - dc App

[익명(118.43)]

이번엔 이 토막으로 반대로 작은 가지를 토막내는거임 만일 이게 맞아 떨이지면 이 토막이 최대공약길이가 되는거임 왜냐면 이 토막은 이미 작은가지를 정수배로 토막냈고 작은가지는 큰가지에서 그 토막분만 제외하고 나머지를 정수배로 토막내서 그 토막분으로도 큰가지를 정수배로 토막낼수 있다는게 증명되기때문임..이런식으로 서로 빼서 얻으니 호제법임 - dc App

[익명(118.43)]

물론 최대공약길이가 없다면 서로 빼다보면 마지막으로 남는 토막분은 단위길이가 됨 - dc App

[익명(118.43)]

수로 따지면 이 두 나무가지는 서로 소가 되는거임 - dc App

[익명(118.43)]

위에서 단위길이를 다시 정의하자면 임의의 곧은 두 나무가지가 있을때 이 둘다 공통으로 정수배만큼 쪼갤 수 있는 최소단위 토막임 - dc App

[익명(118.43)]

이러케 가정되어야 서로 토막 냈을때 단위길이보다 더 작은 토막이 안나오게 됨 - dc App