b(k,n; x) 를 발생확률이 x인 사건이 n번중에 k번일어나는 확률이라고 하자.

이걸 x에 대한 다항식으로 생각하면 이항정리에 의해 n차 다항식이 나오겠지?


어떤 [0,1]을 정의역으로 하는 bounded한 연속함수 f(x)를 생각하자.

여기서 주장은 function sequence f_n(x)를 다음과 같이 정의했을때 이게 f(x)에 pointwise convergent한다는거임


f_n(x) := sigma(k=0 ~ n) { f( k/n ) * b(k,n; x) }


내가 본 문헌에는 떨렁 여기까지만 써져있고, 이게 왜 이렇게 수렴하는가에 대한 설명이 없었는데 

내 나름대로 생각해보기에 맞긴 한것같음


우선 f(x)가 연속이니까 적당한 x=p 의 neighborhood 에서 거의 선형적으로 값이 변하겠지?

그리고 이항분포는 시행수가 많아질수록 기대치주위에서 움직이고 표준편차는 O( 1/sqrt(n) ) 정도의 크기니까 n이 충분히 크면 무시가능하고.

그리고 f(x)는 bounded니까 최대값, 적어도 upper bound M을 가지겠지


즉, n을 충~분히 크게하면 각각의 x에 대해서 x주변의 k만이 확률적으로 의미를 가지고,

이러한 x의 근방에서 f(x)는 거의 값이 변하지 않기 때문에 기대치가 f(x)가 되어서 f_n(x)가 f(x)에 수렴하는것 같은데....


============================


이런 급수? 적분? 을 뭐라고함?