5.8 a가 궁금한데
||f||=1 이 어떻게 되는 거임?
우선 M이 closed라 δ>0 인건 되고.
p(z)=||z||라 하면 얘는 norm이되고
증명에 나온 것 처럼 f를 정의하면 얘가 M에서 정의된
Linear functional인 것도 자명하고, 증명에 따라
|f(z)| <= p(z), for all z in M+Cx 야
따라서, 한-바나흐 정리 이용하면
전체 공간으로 linear functional을 확장할 수 있잖아.
그래서 확장된 애를 다시 f라고 부르면 여전히 |f| <= p임
그러니까 |f(z)| <= ||z|| for all z in Χ 잖아.
그럼 ||f|| <= 1 인 거 까지는 알겠는데,
여기서 완전히 1이 되는지는 어떻게 알지? ㅠㅠ
살려줘 형들 ㅜㅜ 나 세시간째 모르겠어
저 값이 델타가 되게하는 y잡으면 f(x-y)면 되겠지
저 값이 뭐야? 자세하게 써줄 수 있어??
델타 = inf x-y고 M이 closed subspace니까 그냥 =가 성립하는 y가 존재하겠지...라 생각했는데 completeness읍나? 근데 걍 수열잡아도 되긴할듯
아 잠만... f((1/δ)x)= 1 ....?
더 이해를 못하겠음 ㅜㅜㅜㅜ 근데 completeness가정은 없는데
그냥 f((||x||/δ)x) = ||x||니까, ||f||>=1 인 건가?
yn을 x-y의 크기가 델타에 임의로 가깝게 잡을 수 있고 f(x-y)=f(x)-f(y)=f(x)=델타니까
||f||의 정의가 일반적인 정의랑 다른가?? 왜 난 전혀 무슨 말인지 모르겠디..
아니 분모는 |x-y|가 델타로 가고 분자는 f(x-y)=델타잖
함수해석이 이런거엿군
|f(x-y)| =lim||x-yn|| 이거??
위에 댓글에 내가 적은 거두 맞는거야??
저 리미트 있는 식에서 lim가 안으로 들어가니까 성립하는거?
저 y가 존재 안할수도 있긴한데 inf의 정의상 yn은 있으니가
아아아아 |f(x-yn)|/||x-yn|| <1 인데, lim하면 1이랑 무한히 가까워지니까, sup는 1일수 밖에 없다는 거구만
따라서 ||f||>=1 알겠다 ㄱㅅㄱㅅ 근데 f((||x||/δ)x) = ||x||니까, ||f||>=1 도 맞음?
들어가는거 크기도 x랑 같아야 되는데 아니니까 틀림
폴란드네 나도 이거 할 때 고생했는디
1보다 strict하게 작다고 가정하고 thm5.6 증명 참고해서 증명해봐