좀 바보같은 질문일수도 있는데 

모든 연속함수는 적분이 가능하든 아니든 푸리에변환이 가능해야하는게 아닌가? 하는 결론이 나와서 이상한것같아서 질문함

공대4학년따리의 지식이라서 논리적으로 구멍이 송송나있을텐데 감안하고 읽어주시요 ㅠ


1변수 실함수 f : R -> R을 생각하고 이것이 매끄러운 함수라고 하자(전구간에서 미분가능)

이런 좋은 성질을 가진 모든 함수들의 집합 V를 생각하면, V의 임의의 원소를 스칼라배해도, 서로 더해도 이러한 성질을 잃지 않으니까 V는 linear space이라고 생각할수 있을거 같음(아마)

이 V에 작용하는 operator로써 미분연산자 D : V -> V 를 생각하자.

이제 적절한 기저집합 {f_i} 를 정의해서 임의의 f \in V 를 {f_i}의 원소들의 선형결합으로 나타내고 싶음.

그러면 원소의 갯수는 무한하겠지만, 아무튼 선형대수에서 벡터에 행렬을 곱해서 그 벡터를 다른기저로 표현하는 작업이 유한공간과 비슷하게 가능할것 같음(아마)


이런 기저함수의 후보로써 생각나는게 일단 다항함수 x, x^2, x^3 ... 이고, V는 무한번 미분가능한 좋은 함수들만 모아놓은 집합이니까 테일러급수를 이용해서 각 성분의 값을 알수 있을것같음.

두 함수의 곱의 적분을 내적으로 생각하면 V의 원소간의 직교관계를 만들수 있고, 직교다항식이라는게 그런거라고 알고 있음


아마 V의 기저의 표현방법은 말그대로 무한가지 있을것이며, 이중에 가장적절한것(적절하다는게 뭔진 모르겠지만) 이 무엇인가? 

라는 질문에 답하는것이 공학적으로도 수학적으로도 나름대로의 의미가 있지 않을까 싶음


=================


다시 미분연산자로 돌아가서,

미분연산자는 선형연산자니까 적절한 기저를 고르는 것으로 행렬"같은거"로 표현될수 있을것 같음

만약 다항함수를 기저로 V를 표현하면 흔히 생각하는 다항함수의 미분을 이용해서 행렬표현이 될것같음.

이런방식으로 미분을 적절한 기저를 이용해서 행렬"같은거"로 표현하는게 가능하다면 

이런 행렬의 대각화를 생각하는것으로 계산을 단순화 시킬수 있고,

이런 아이디어? 모티베이션? 으로 푸리에 해석이 등장한건가 싶음.


Df = a*f (a는 적절한 복소수) 


위와같은 미분방정식을 D의 고유방정식 같은거라고 생각하면 너무 쉽게 f=exp(ax)가 해로 나오지.

즉, V의 원소들을 지수함수들의 선형결합으로 나타낼 "수도" 있다는 결론이 나옴


그런데 여기부터 유한차원에서의 선형대수학에서 배운것과는 다른 것들이 나와서 이걸 어떻게 받아들여야 할지를 모르겠음


1 ) 그렇다면 D의 고유공간이 {exp(ax) | a \in C}의 span 이라는건데, 이렇게 생성된 공간이 진짜로 V와 일치(동형?)한가?

    이게 푸리에 변환이랑 무엇이 다르며, 내가 배운바로는 푸리에변환이 가능한 연속함수는 제곱한걸 R전체에서 적분한 값이 수렴하는 함수뿐이라고 알고있는데

2 ) D의 고유치가 C의 모든원소라면 이는 유한공간때와는 다르게 연속적인 값을 가지는데, 공간의 direct product가 연속번 가능한가? 

     그러니까, R^3은 R을 2번 direct product한거고, 이를 계속반복하면 R^\infty라는 것을 생각할수도 있다는거잖아

     근데 이러면 공간을 쌓은횟수가 어짜피 countable하니까 내가 만들고싶은 연속적인 곱공간에는 턱없이 모자라다는거지

     자연수가 실수보다 적잖아


D를 행렬같은거라고 생각해서 선형대수의 논리를 그대로 적용하니까 

애초에 작용하는 공간이 무한차원 선형공간이다보니까 안맞는것들이 좀 있는것같음....


이런 관련내용을 좀더 자세히 알려면 뭘 공부해야됨?

함수해석학을 양자역학 공부할때 살~짝 보긴 했는데

linear operator의 표현론은 좀더 상위내용인것 같더라고...


읽어주셔서 ㄱㅅㄱㅅ