두 실수 x,h가 있다.  (h>0)
닫힌구간 [x,x+h]에서 연속이고 열린구간 (x,x+h)에서 미분가능한 함수 f(t)에 대해

(f(x+h)-f(x))/h=f'(g(h))이고 x<g(h)<x+h를 만족하는 함수 g(h) 하나를 정하면, (적어도 하나 존재하니)

lim h->0+ f'(g(h))= f'(x) 인데,  이는 lim t->x+ f'(t)=f'(x)를 의미하지는 않는다.
lim t->a+라는건 실수t가 a보다큰쪽에서 모든경로로 가까워질때..를 의미하는 것이니..
h->0+이면 g(h)->x+라고
lim h->0+ f'(g(h))=lim g(h)->x+ f'(g(h))와 같은식으로 나타낼수없다는거잖아요?
그런데,

h->0+일떄 g(h)가 x로 가까워지는 모든 방식을 다포함하면,, lim t->x+ f'(t)=f'(x)라 할 수있다.

이때 "h->0+일때 g(h)가 x로 가까워지는 모든 방식을 다포함" 한다는것을 어떻게 정의하나요?

이게 1번째 질문이고,


2번째 질문은

추가적으로, 어떻게해도 "g(h)라는 함수 하나를 특정"하는 것으로는
h->0+일때 g(h)가 x로 가까워지는 모든 방식을 다포함하지는 못하지만,

(f(x+h)-f(x))/h=f'(g(h))이고 x<g(h)<x+h를 만족하는 함수 g(h)가 무수히 많아서,

lim t->x+ f'(t)=f'(x)라는 조건이 성립할수도 있는지? 그것도 궁금합니다.


(즉,,,


lim h->0+ f'(g(h))=f'(x)
lim h->0+ f'(k(h))=f'(x)
lim h->0+ f'(z(h))=f'(x)
.
.
.
이렇게 하나씩,하나씩 지정해주는게 무수히 많게 되어 "x로 가까워지는 모든방식"과 동일한 개수의 함수가 있어 이를
전부다 만족하게된다면,

g(h)라는 함수 하나를 특정하는 것으로는
h->0+일때 g(h)가 x로 가까워지는 모든 방식을 다포함하지는 못하지만, (즉, 어떤함수도 x로가까워지는 모든방식을 다포함하지는 못하지만)

lim t->x+ f'(t)=f'(x)를 만족할수도있는지 궁금합니다.

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