6번임
holomorphic은 holo로 줄여서 쓰겠음.
먼저 C를 삼각형 T(문제에서 주어짐) 안의 중심이 w(f는 이 점에서 holo가 아니라고 주어짐)이고 반지름이 r인 원이라고 할게
당연히 r은 C가 T에 포함되도록 충분히 작게 잡음.
f가 w 근방에서 bounded라고 했으니 r을 충분히 작게 잡으면 C 내부와 C 위에서 f가 bounded겠지.
f가 C 내부와 C 위에서 |f(x)| < M 이라고 하자.
만약 f가 w에서 holo라면 T를 따라 적분했을때 0이지. 하지만 T 내부의 w에서 holo가 아니니까.. 우선
이 적분이 M에 의해 bounded인지 봐야겠다. 확인해보니 M에 의해 bounded임.
이제 g(w)를 위 사진의 적분값으로 정의하고
g(z) = f(z) (z는 w가 아닐 때) 이렇게 정의할거임
그러면 코시 적분공식에 의해 g는 holo이고 T를 따라 적분하면 0이지.
g를 적분 한것과 f를 적분한것은 같으므로 f를 T를 따라 적분하면 0.
여기까지임. 맞는 풀이임?
w가 removable singularity네
미적분할때 제거가능 불연속점을 제거해서 연속으로 만들듯이 그런 느낌으로 풀었음.
대충 direction은 맞는데 디테일까진 모르겠다. (w가 removable이면 그 점에서 holo이고 g(z)=f(z) (if z is not w)이 g가 있는게 맞음)
풀이방향 강조하려고 디테일은 안썼음. 하지만 g와 f의 적분이 같다고 주장하는 부분은 그냥 넘어감. 어차피 매개화해서 리만적분으로 바꿀 수 있으니까 맞기야 하겠지
T위에서 g=f 이니까 그건 자명함
해석학에서 불연속점 하나있을때 적분가능한거 어떻게 보이는지 생각해보셈 같은테크닉임