요즘 대학원 입시때문에 선대를 다시 보고있는데,

행렬의 대각화 관련해서 질문이 있음 ㅇㅇ


어느 대각화 가능한 n차 정방행렬을 A이라고 하고, 이게 A = P D P^{-1} 로 대각화된다고 하자.

Frobenius theorem에 의해 임의의 n차 다항식 p(x)에 대응하는 행렬 다항식 p(A)는 고유치가 p(D)의 대각성분이란 말이지?

그리고, p(x)를 적절하게 정의하면 p(A)의 고유치를 임의의 실수로 만들수 있고 (좌표평면상 n개의 점을 잇는 n차 다항식은 반드시 존재)

그리고 Cayley-Hamilton theorem에 의해 A^k (k >= n)은 A^m (0 <= m <= n-1)들의 선형결합으로 나타낼수 있으니까,

결국 p(A)들은 행렬곱은 연산으로하는 군을 만듬 ㅇㅇ


또한, 이 군은 아벨군임.

왜냐하면 행렬의 거듭제곱은 교환법칙이 성립하니까


이건 어떤의미에서 모든 n차 정방행렬으로 만든 행렬곱을 군 연산으로 하는 군(G라고 하자)을

고유벡터가 같은것을 동치관계로 생각해서 equivalence class로 나눠준거라고 생각할수 있음.

그리고 이 분해는 원래 가환군이 아닌 G를 가환군으로 분해해준거라고 생각할수 있음.


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여기까지는 어제 했던 생각의 흐름인데, 이 다음부터는 잘 모르겠음 


G를 가환군으로 나눴는데, 이건 너무 세세하게 나눈거라고 생각함.

교환자 [A,B] := AB - BA = 0 인 가장 엄격한 조건이 A와 B의 고유벡터가 같은거라고 할수 있지만,

이보다 좀더 느슨한 조건을 걸어줄수도 있지 않나?


즉, 행렬곱이 가환인 집합들의 클래스중에 가장 느슨한게 뭘까?


이런 질문에 대해 연구하는 분야? 같은게 있음?

이미 다 끝난 내용일것 같기도 한데, 무한차원에서 함수해석학적으로 이 문제를 보면

서로 가환인 연산자 (양자역학에선 물리량) 들이 가지는 성질을 좀더 알수있을것같음.


양자역학에서 각운동량 배울때 이 내용을 배운것 같거든?

서로 가환인 연산자는 동시고유함수를 가져서 대각화 가능하다고.

그때 말한 동시고유함수가, 유한차원에서 생각하면 같은 고유벡터를 가진다는거잖아.

즉, 행렬곱에 대해 가환이랑 고유벡터가 같다는게 서로 필요충분조건인가?


잘 모르겠다 ㅠ