[일반] 집합론 맛 보기 하고 있는데 궁금해서 여쭤봅니다!

[익명(115.90)]

'2의 알레프 0 승'이 알레프 1이 된다고 하는데,

'알레프 0의 제곱'이 알레프 0 이므로 '알레프 0의 알레프 0 승'은 알레프 0이 되는 것 아닌가요?

그런데 그렇다면 '2의 알레프 0 승'이 '알레프 0의 알레프 0 승'보다 커지게 되는 비논리적인 상황이 유도되는데...

'알레프 0의 알레프 0 승'은 알레프 0이 아닌건가요? 아니라면 왜 아닌지 알려주실 수 있을까요?

[익명(223.54)]

일단 2의 알레프0승=알레프1 은 연속체 가설이라 ZFC 내에서 결정불가능하고... 두번째 줄은 잘못되었는데? 책 다시 읽는게 좋을듯

[익명(223.54)]

알레프0의 알레프0승이 알레프0이라 생각한 이유가 더 궁금한데. 그건 2의 알레프0승인걸

[익명(115.90)]

가산 무한에 가산 무한을 곱해도 여전히 가산 무한이니까 알레프 0 ×알레프 0 = 알레프 0 아닌가요?

[익명(115.90)]

그러니까 알레프 0에 알레프 0을 무한히 곱하는 연산을 한다면 그래도 여전히 알레프 0이 될 수 있다고 생각했습니다...

[익명(115.90)]

정확히는 무한히가 아니라 알레프 0번 만큼...

[익명(223.38)]

수학적 귀납법은 (초한귀납법이 아닌 이상) 자연수 한정임. 1+1이 자연수라고 sum_{k\in N}1이 자연수는 아니잖음.

[익명(115.90)]

'알레프 0의 제곱'이 알레프 0 이므로 '알레프 0의 알레프 0 승'은 알레프 0이 되는 것이 수학적 귀납법이 적용되지 않기에 논리적이지 않은 연산이라는 말씀이신가요? 그렇다면 '알레프 0의 알레프 0 승'의 크기를 알아낼 다른 방법은 없는걸까요...

[익명(223.38)]

힌트1: 세 cardinal κ,λ,ν에 대해 κ<λ이면 κ^ν<=λ^ν이다. 힌트2: 알레프0<2^알레프0 힌트3: 알레프0 곱 알레프0=알레프0

[익명(223.38)]

아니면 내 댓글을 다시 잘 읽던가.

[익명(218.49)]

2와 2의 알레프 0승 사이에 알레프 0이 있다는 부등식을 세우고 각 항에 알레프 0제곱을 하면 알레프0 곱 알레프 0은 2의 알레프 0승이라는 말씀이시죠... 늦은 밤에 질문 여러 개에 답변 꼼꼼히 해주셔서 감사합니다 좋은 밤 되세요!