원소의 개수가 q인 field F 가 있을 때
F위에 정의된 n 차원 벡터공간이 있다고 합시다.
이 벡터공간의 k 차원 부분공간은 몇 가지나 존재할 수 있나요?
힌트 주시면 감사하겠습니다.
또 유한체는 전부 Zp의 형태인가요? 즉, 위에서 q는 소수여야 하나요?
F위에 정의된 n 차원 벡터공간이 있다고 합시다.
이 벡터공간의 k 차원 부분공간은 몇 가지나 존재할 수 있나요?
힌트 주시면 감사하겠습니다.
또 유한체는 전부 Zp의 형태인가요? 즉, 위에서 q는 소수여야 하나요?
k차원 부분공간 = k개의 선형독립 벡터를 뽑은 뒤에 걔네의 중복도를 빼준다
k개의 선형독립 벡터 뽑는 가지수 = (q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^(k-1))
걔네의 중복도 = 벡터공간 안에서의 기저변환 = GL(Fq,k) = k차원서 k개 선형독립 벡터 뽑는 가지수 = (q^k -1)....(q^k - q^k-1). 이제 두개 내눠준게 답.
위와 같은 과정을 통해 k차원 부분공간이 정해졌을 때 그 안에서의 서로다른 기저의 개수로군요? 해당 k 차원을 결정지었을 수 있는
유한체는 Fp의 확대체지만 꼭 Fp는 아니지. F2[x]/ x^2+x+1 도 필드임. 물론 이로부터 q는 소수의 power란건 증명가능
(F의 n tuple 의 전체 가짓수- 영벡터 개수) ×(전체가짓수-앞의 것에 proportional한 벡터의 개수(그래서 곱하기q, 0벡터도 여기포함)) ×(전체가짓수 - 앞의 두 서로독립인 벡터에 coplanar 한 벡터의 가짓수) ×....
이런식으로 진행되는 것인거죠?
ㅇㅇ 맞음.