유한집합 S가 벡터공간 V를 생성할 때, S의 부분집합 중 V의 기저가 존재한다는 증명 중 일부가 이해가 안되서 질문 드립니다
S에서 일차독립이 되도록 원소들을 뽑은 집합을 b라 하면,
1) b=S이면 b가 V의 기저인건 자명하고,
2) b가 S의 일차독립인 진부분집합일 때, 일단 b가 일차독립이니 b가 V를 생성하는 것만 보이면 되는거까진 이해했습니다. 이때
"span(b)=V는 S가 span(b)의 부분집합임을 보이면 충분하다" 했는데
이 점이 이해되지 않습니다.
중간에 "벡터공간 V의 임의의 부분집합 S의 생성공간은 S를 포함하는 V의 부분공간이다"라는 정리를 썼다고는 하는데 와닿지가 않네요..혹시 이해 시켜주실수 있나요?
S에서 일차독립이 되도록 원소들을 뽑은 집합을 b라 하면,
1) b=S이면 b가 V의 기저인건 자명하고,
2) b가 S의 일차독립인 진부분집합일 때, 일단 b가 일차독립이니 b가 V를 생성하는 것만 보이면 되는거까진 이해했습니다. 이때
"span(b)=V는 S가 span(b)의 부분집합임을 보이면 충분하다" 했는데
이 점이 이해되지 않습니다.
중간에 "벡터공간 V의 임의의 부분집합 S의 생성공간은 S를 포함하는 V의 부분공간이다"라는 정리를 썼다고는 하는데 와닿지가 않네요..혹시 이해 시켜주실수 있나요?
b로 S를 생성할 수 있으니까 V도 생성할 수 있는 건 당연하지 않나
조금만 더 풀어서 설명해주실 수 있나요?
S로 V를 생성한다는 말이 S를 선형결합하면 V의 모든 원소를 쓸 수 있다는 거고, S는 b로 생성된다는건 S의 모든 원소가 b의 원소들의 선형결합으로 쓰여진다는거잖아요.
v = a_1 s_1 + ... + a_n s_n으로 쓸 수 있고 각각의 s_i들은 또 s_i = a_i1 b_1 + ... + a_im b_m으로 쓸수 있다는건데 이 식을 첫번째 식의 s_i에 다 대입하면 b_1, ..., b_m으로 임의의 v를 다 쓸 수 있다는 거임.
v = a_1 s_1 + ... + a_n s_n으로 쓸 수 있고 : 이건 span(s)=V이니 이해했습니다 각각의 s_i들은 또 ~~으로 쓸수 있다는건데 : 이거는 span(b)=S인 조건 아닌가요? 그러면 b의 원소들의 일차결합으로 S의 원소를 나타낼 수 있는데, 이것과 "S가 span(b)의 부분집합이다"와 같은 말인지 잘 이해되지 않습니다
아 포함관계 때문에 "S가 span(b)의 부분집합" 이 "S의 모든 원소들이 b의 일차결합으로 표현될 수 있다"인건가요?
ㅇㅇ 맞아요
span(b)안에 s가 있으면 걔네로 다시 v를 만들수가 있어서 앵 윗댓ㅇ랑 똑같은 말이네 - dc App
내가 본 선대책에서는 애초에b를 만들때 독립이 되게 만들었얶는데 - dc App
span(b) 안에 S가 있음 -> 그 S로 생성한 span(S)=V임(조건에 의해) : 그럼 span(b)=V가 되는 건가요? 이게 위 논리로 당연한건지 아님 본문 하단의 정리를 이용한건지 헷갈립니다
네네 b는 일차독립으로 만든거 맞아요
그말인듯 ㅇㅇ - dc App
ㄷ - dc App