[일반] 외접하는 서로다른 두 원에 내/외접하는 원의 존재성

[익명(118.235)]

항상 가능한지 궁금합니다

- dc official App

[ns(qwer2357)]

원의 내외접은 중심거리와 반지름으로 다 설명가능. 그래서 외접하는 두 원이주어졌다 = R, r이 주어지고 두 점 사이 거리가 R+r인 두 점이 주어졌다. 임

[ns(qwer2357)]

동시외접원이 존재하는지를 묻는건 R+r만큼 떨어진 두 점이 주어질 때 어떤 r'에 대해 한끝점에선 R+r'만큼 떨어지고 다른 끝점에선 r+r'만큼 떨어진 점을 찾을 수 있는지 묻는거고, 저런 점은 세 길이가 삼각형의 세 변이 될 수 있으면 됨 (컴퍼스로 작도가능)

[ns(qwer2357)]

그런데 앞서 길이들은 서로 교대로 더해진 형태고 각 변수가 양수라 삼각부등식이 성립. 따라서 동시외접원은 모든 반지름에 대해 항상 존재함.

[ns(qwer2357)]

동시내접도 비슷하게 논의를 진행해보면 r'-r, r'-R, r+R이 삼각부등식 이루면 된다는걸 알고, 이를 만족하기 위해선 r' >= R+r이면 된다는걸 암. 즉 두 원 반지름보다 큰 반지름의 동시외접원도 항상 존재