순서 좀 안맞을 거고 기억나는대로 적었음


1. Z^(l1+...+lm)/H가 어떤 애냐
단, H is spanned by (k1n1,..,k1n1,k2n2,...,k2n2,...,k_m n_m,...,k_m n_m)

2. R이 commutative ring이고 임의의 r에 대해 r^n=r인 n>1있으면 prime ideal이 maximal하다

3. x^5-8의 Q상에서의 splitting field의 order는?

4. AB=I이면 A랑 B rank가 같음을 보여라

5. Metric space에서 x_n이 Cauchy sequence이고 x로 수렴하는 subsequence가 있으면 x_n은 x에 수렴함을 보여라

6. (a)V의 basis가 v1,...,vn일 때 V*의원소 v1*,...,vn*를 묘사하고 얘네가 basis임을 보여라
(b)W가 V의 subspace이고 W'=set of f s.t. f(W)=0일 때 dim W'=dim V-dim W임을 보여라

7. y'=(1+y^2)x, y(0)=0 풀어라. 정의역도 구해봐라.

8. w가 실수일때 int_{-inf}{inf}cos(wt)e^(-t^2)dt=sqrt(pi)e^(-w^2/4) 임을 보여라

9. Entire한 f가 Re(f(x+iy))>=x for all x,y이면 f는 일차다항식임을 보여라

10. C0=[0,1], C_{n+1}=1/3 C_n U (1/3 C_n+2/3)일 때 C는 C_n들 교집합으로 정의. 임의의 [0,1]의 원소는 C의 두 원소 차로 표현됨을 보여라. (Hint : C_n들이 그러한 성질을 만족함을 보이는 것에서 시작해봐라)

11.(a)CP^2랑 S^2가 homeomorphic함을 보여라(CP^2란 단어는 안나오고 대신 CP^2를 C^2-{(0,0)}/~로 정의해 주었음)
(b)S^2가 원들의 countable union으로 표현될 수 없음을 보여라

12.Prove or disprove
(a) The product of a family of metric spaces is a metric space
(b) R^n의 Connected open set은 path-connected

13. AㅌO(3)를 S^2에 restriction한 map이 isometry임을 보여라.

14. smooth surface S (R^3에 있음)가 어떤 평면 P의 한쪽에만 있다. q가 S랑P에 속할때 q에서의 tangent plane이 P임을 보여라

15.(a)z=x^2-y^2일때 (0,0,0)에서의 Gauss curvature을 구해라
(b)K=H^2인 curve가 어떤 곡면인지 설명해봐라. 단, K와 H는 각각 Gauss curvature, mean curvature.