호몰로지 공부 시작한지 얼마 안된 수린이인데
공부하는데 hom functor를 가르쳐 주면서 얘는 covariant/contravariant left exact functor인데 이때 얘가 right exact가(그래서 exact가) 되도록 하는 애를 projective/injective module이라 하자 그러고
tensor functor 가르쳐 주면서 얘는 covariant right exact functor인데 left exact가(그래서 exact가) 되도록 하는 애를 flat module이라 하자 그러고
막 hom functor랑 tensor functor 관계 설명하고 projective, injective, flat module의 성질, 존재성 이런 얘기 하거든?
근데 계속 저렇게 exact functor를 만들려고 집착하는 이유가 뭐임? exact sequence를 exact sequence로 옮긴다니까 딱 봐도 성질이 좋아보이기는 한데 구체적으로 어떤데 쓰고싶어서 그러는진 아직 안알려줘
캘빈클라인ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
여기서 주운 짤이에요ㅎ
으음 그나마 아는게 sheaf쪽밖에 없으니 이쪽으로 설명을 해보자면 sheaf에서 exact는 local하게 (그러니까 stalkwise)하게 정의가 됨
근데 이제 우리는 global한 section들에 관심이 있기때문에 sheaf에서 abelian group이나 module 같은 놈으로 가는 global section functor를 생각을 하게 되는데 얘같은경우 일반적으로 left exact밖에 안되고
그래서 exact한게 얼마나 깨지는지를 보여주는게 그 functor의 right derived functor고 좀 더 익숙한말로 하면 sheaf cohomology가 되는건데 뭐 이런것들 하러고 필요한것 같음
근데 이제 특수한 sheaf들의 경우는 global section으로 보내는 functor가 exact가 되는 애들이 있고 (acyclic sheaf) 이런 녀석들 중에 원래 derived functor보다 계산하기 쉬운 애들을 찾아서 cohomology를 구해주면 걔네가 원래 derived functor를 취한거랑 같아진다는 정리가 있음
예시로는 complex manifold에서 Dolbeault theorem이 정확하게 그 결과로 얻어지고 ㅇㅇ 쨌든 그래서 exact functor가 중요한게 아닌가 싶은데 나도 아직 잘 몰라서 이정도밖에 설명을 못하겠다
아 acyclic부터는 잊어도 되겠다 쨌든 일반적으론 사람들이 관심있는건 exact가 안됨
exact sequnece가 존나 중요한건데 그걸 보존시키는 functor니까 당연히 중요하지
보통은 보존이 안되니까. 개나소나 보존했으면 exact functor라는 명칭이 개발이 안됐겠지
개인적인 생각을 말해보면, 어떤 object를 살펴보려면 이 object가 다른 object들과 어떤 관계인지 봐야하잖아. 다시 말하며 map을 살펴봐야 한단건데, 이 map은 kernel과 cokernel같은거로 characterize할 수 있잖아. 그런데 exact sequence의 대표적인 예시들이 바로 어떤 map의 kernel과 cokernel을 나타내는 것이나 direct sum같은 것들이 있는데, 이게 object가 간단할 때는 금방 계산이 되지만 object가 어려워지면 계산이 어렵잖아. 간단히 tensor product같은 것만 생각해도 우리 직관이랑 잘 안 맞잖아 "곱"해서 더 커져야 할 것같은데 0으로 되는 경우가 생기니까.
그런데 exact functor를 잘 쓰면 우리가 알고 싶은 sequence를 좀 더 "이해하기 쉬운" object들의 sequence들만 생각해도 충분하다는 걸 말해주니까 쓸만한게 아닐까? 이건 내생각이라 군데군데 틀린데가 많을수도 있음.
모두들 답변 감사해요. 왜 구체적인 예시를 안알려줬는지 좀 알거같기도 하네요... 아무튼 제가 이해한 바로는 exact sequence가 굉장히 계산하기 편리한데 반해 많은 관심있는 대상들이 exact functor가 아니고 따라서 특수한 경우 exact가 되어 계산하기 편해질때를 좋아하는 그런거죠?
공간의 특징을 대수적으로 파악하는게 호몰로지인데 호몰로지는 the failure of exactness를 측정한거라고 볼수있음 그래서 exactness가 중요한건데 만약 어떤 펑터가 exactness와 무관하다면 그 펑터는 호몰로지로 파악되는 공간의 성질을 다루는데 별로 쓸모가 없다고 판단할수 있음