몇주전부터 인터넷에서 떠돌던 문제인데 별 지랄을 다 해도 안풀리더라고요...
그러려니 하고 넘기려다가도 잊혀질때 쯤 항상 다시 이 문제를 마주치게 되서 답답한 마음에 이 갤러리에 질문을 남깁니다.
이 갤러리의 학력이 꽤 높은 것으로 알고 있고, 이러한 낮은 수준의 질문을 불편해 하실 분들이 있을 것으로 예상됩니다.
그럼에도 불구하고 저는 이 문제를 풀 실마리조차 잡을 수 없었기에 염치불구하고 여기에 질문을 남깁니다...
그러려니 하고 넘기려다가도 잊혀질때 쯤 항상 다시 이 문제를 마주치게 되서 답답한 마음에 이 갤러리에 질문을 남깁니다.
이 갤러리의 학력이 꽤 높은 것으로 알고 있고, 이러한 낮은 수준의 질문을 불편해 하실 분들이 있을 것으로 예상됩니다.
그럼에도 불구하고 저는 이 문제를 풀 실마리조차 잡을 수 없었기에 염치불구하고 여기에 질문을 남깁니다...
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이제 어떻게 합니까
일단 x^99의 계수는 주어진 조건을 만족하는 임의의 P, Q에 대해 항상 일정하니까 Q=0 으로 두면 P(x) = root(1+x) 이고 이거 그대로 식에 집어넣어서 이항전개 하는데 root(1+x) 가 홀수지수 일때는 다시 한번더 일반화된 이항전개 하면 될듯
근데 이건 꽤나 계산이 더럽고 혹시 이게 모의고사 같은 데서 나온 문제면 다른 풀이가 있을듯
P, Q는 다항식이라고 첫줄에 주어지지 않았나요
음 P^2 = 1+x+x^100Q 랑 P(0)=1 을 만족하면 무한급수라도 답은 같음. 어차피 중요한건 x^99이하의 계수니
결국 어떤 P(x)도 root(1+x) 에 100승 이상의 계수를 다 쳐낸뒤 몇개만 적절히 더해준거에 불과하기도 할테고
계산해봤더니 짝수차는 x^50항까지밖에 없어서 전부 사라지고 홀수차만 남는데, 이 계수를 계산해보니 sigma k=1 to 50 (100 C 2k-1)*(k-(1/2) C 99) 가 나오네요. 이걸 계산하는 방법이 있나요? C는 조합 기호입니다.
그거 계산하다 떠올랐는데 번거롭게 무한급수 안거쳐도 되겠네요. (1+P)^2 을 바로 이항전개했을때 P^2n = (1+x+x^100Q)^n 이라서 앞에서 했던것 처럼 짝수차수는 고려할 필요 없고
홀수 차수만 고려한다 가정하면 (1+P)^100 이랑 (1-P)^100 이랑 계수는 부호빼고 같은데 1-P = x*f(x) 꼴이라 x^99계수가 0나오네요
오 되게 간단하게 되네요 신기하네
그러니까 (P + 1)^100 + (P - 1)^100 = a_0 * P^0 + a_1 * P^2 + ... + a_50 * P^100의 x^99의 계수는 0인데, (P - 1)^100 = x^100 * A^100의 x^99의 계수는 0이라고요? 대박 ㄷㄷ.
"홀수 차수만 고려한다 가정하면 (1+P)^100 이랑 (1-P)^100 이랑 계수는 부호빼고 같은데" ??? 이게 무슨말이야 P는 식인데요?
P^2, P^4, ... P^100에 x^99항이 없으니 P^(2n+1)꼴에 있는 x^99 항만 관찰하면 되잖음
SORRY 대충 읽다가 다시보고 이해했음
??? (1+x+x^100Q)^100 의 99항은 (1+x)^100 의 99항과 같고 자명히 존재하는데, P^2N 클레임은 어디서 나온거?
다시 Sorry! 오늘은 걍 자야지 ㅋㅋㅋㅋ
깜빡하고 n의 범위를 안 말했어요 죄송해요
5번
정보부족. 당장 줄여서 생각해봐라 여전히 답 안나온다. 《P^2=1+x+x^2Q 일때 (P+1)^2의 x 계수는?》 인터넷에서 퍼왔다니, 불량자작문제 같은거 아님?
P=1+1/2x+~~ 꼴인데 나오지 않나?
내 정신머리가 불량입니다~~ :#
계수 비교해보면 다항식으로 성립못하는거 아닌가
제곱을 전개하면 적절한 교대급수일시 합차로 x^2~x^99의 계수들이 0이 되는게 가능할 듯.
그러면 P(x)를 낮은 차수부터 차례대로 구성할 수 있는데 일반항이 나오긴 나올듯. 물론 어떤 차수 99 이하까만.
200 아니야? - dc App
님 풀이 올려보셈