(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) = m이라 하자.
m의 범위를 구하면 된다.

f(x2)-f(x1)=m(x2-x1)

f(x2)-mx2=f(x1)-mx1이 성립

따라서 함수 g(x)= f(x)-mx는
g(x1)=g(x2)므로
닫힌구간 [0,3]에서 일대일 함수가 아니다

g(x)는 삼차함수이고 g'(x)가 이차함수이므로,
g(x)는 열린구간 (0,3)에서 극대또는 극소가 되는점이 적어도 하나 존재한다.

g(x)=x³/3-x²-mx+1
g'(x)=x²-2x-m

따라서, g'(x)가 열린구간 (0,3)에서 값이 양수인 점과 음수인 점이 각각 존재하면 된다.
g'(x)=(x-1)²-m-1이므로

근의 분리에 의해
대칭축 x=1에서 g'(1)<0이어야 한다.
따라서 -m-1<0 <=> -1<m이고, ...《1》

g'(0)>=0
또는
g'(3)>0
일때 열린구간 (0,3)에서 값이 양수인 점,음수인 점이 각각 존재한다. (그래프를 생각해보면 간단하다)

범위를 구하면

-m>=0 또는 3-m>0 둘중 하나를 만족하면 되므로

g'(0)>=0 또는 g'(3)>0을 만족하는 m의 범위는
m<3 ... 《2》

《1》과 《2》를 동시에 만족해야되므로
-1<m<3.

-1<m<3인건 g(x)가 일대일함수가 아니기 위한 조건인데,
(따지자면 m의 필요조건을 쓴거므로, 역을 확인해야한다. 자명하긴 하지만 간단하니 확인.. 이과정에서
문제의 발문이 얼마나 쓰레기인지가 다시 확인이 된다... 적당히 발문을 잘고쳐서,

집합 S= { ( f(x2)-f(x1) )/(x2-x1) l 0<=x1<x2<=3 } 이라고 하자.

이 범위를 만족하는 임의의 m에 대하여
[0,3]에 속하는 서로다른 두 수 x1 x2가 존재하여
g(x1)=g(x2)를 만족함이 맞으므로 필요충분조건이 맞다.

따라서 집합 S = { x l -1<x<3 }