[대학교이상] 방정식의 개수가 늘어날수록 차원이 줄어드는걸 정확히 뭐라고 해야하지?

[익명(175.120)]

예를들어, n공간에서 정의된 공역이 1공간인 함수 f 가 있을 때

어떤 실수 c에 대해 f(X)=c 를 만족하는 X는 n-1차원이라고 보통 받아들이잖아

여기에다가 다른 함수 g에 대해 g(X)=c2도 만족하는 X는 n-2차원이라고 하고

공대학생이라 이런걸 너무 경험칙으로 때려버리는 경향이 있는데, 이걸 좀더 엄밀하게 다뤄보고싶음

수학 수준은 공대 3학년임을 감안하고, 뭘 공부해야 알수있는건지 궁금함

[그게(121.133)]

가환대수. Krull dimension

[익명(175.120)]

머글 눈높이로 가환대수 공부하면서 본문에 써놓은거 이해하기까지 몇개월 보십니까

[AKIRAx(chrislee93)]

기하학

[익명(118.235)]

일차연립방정식이면 선형대수에서도 배우고 기하나 해석적으로는 다양체와 음함수정리와 관련있고 대수적으론 위에서 말한 크룰차원

[익명(118.235)]

다양체 조금 배우면 될 것 같은데 위상수학이랑 선형대수 알면 가능

[그게(121.133)]

그런데 거기까지 갈 것 없이, 어떤 휘어진 공간의 차원이란 걸 접공간(tangent space)의 차원이라고 생각한다면, f(x)=c 위의 한 점 p에서의 접공간은 p에서의 f의 그래디언트를 법선벡터로 갖는 접공간, 즉 "del f(p) dot (x-p)=0"의 해집합이죠. n차원 공간 속에 선형방정식 하나 주어졌으니 n-1차원.

[그게(121.133)]

방정식 두 개의 교집합면, 접공간도 두 일차방정식의 교집합일테니, 대개의 경우엔 n-2 차원이겠죠. 다만 운이 나빠 두 그래디언트가 일차종속라면 접공간은 n-1차원으로 독특한 일이 생기겠지만... 그런 점들은 f와 g가 본질적으로 다르다면, 별로 없어야 할테니...

[카카오(73.146)]

가환대수 보다는 미다체 추천

[익명(175.223)]

일반적으로 되는 건 아니고 뭐 조건이 좀 필요하긴함

[익명(110.70)]

다까먹었네

[익명(122.128)]

Munkres analysis on manifold 보셈. 다양체 정의 나오고 좀 있다 너가 말한 내용 나왔던거 같음

[익명(122.128)]

Munkres 는 저자 이름이고 책 이름이 analysis on manifold임