연습문제를 푸는데 이래도 되는건지 싶어서 질문합니다.
S_5의 subgroup H가 length5 짜리 사이클과 transposition 하나를 포함하면 H는 S_5 전체이다임을 보이는 문제입니다.

먼저 H가 원소로 갖는 transposition이 (1,2)임을 가정해도된다.
(왜냐면 (a,b)를 원소로 가진다면 a와 1을 바꾸고 b와 2를 바꿔서 생각할 수 있기 때문에)
그리고 H가 원소로 갖는 length 5짜리 사이클을 f라 하면
f는 length 5이니깐 f^n(1)=2인 자연수n존재
H는 subgroup이니깐 f^n을 원소로 가짐
즉, H는 (1,2,a,b,c)꼴의 원소를 가짐 (여기서 a,b,c는 3,4,5중 각각 하나)
이때 적당히 숫자들을 아까처럼 renumbering함으로써  H가 (1,2,3,4,5)를 원소로 가진다고 가정해도된다

길게썻지만 사실 그냥
wlog we may assume (1,2) and (1,2,3,4,5) are contained in H
이게 가능한건지 묻고싶습니다
이게되면 뒤의 증명은 쉬운데ㅠㅠ