[일반] 대수 T/F 문제

[ㅇㄴㅇ(116.37)]

the galois group of a finite extension of a finite field is solvable??

[익명(141.223)]

no

[ㅇㄴㅇ(116.37)]

왜요??

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

TF를 기억하는 법은 '5차 이상의 방정식의 근의 공식은 없다' + 'solvable -> 근의 공식 존재'에서 유추하는거고, 직접 증명하는 법은 실제로 galois가 solvable이 아닌 5차 식의 존재를 증명하면 됨

[ns(qwer2357)]

응? 얘들아 finite field위에 finite extension은 x^q^n-x의 splitting field라 자동으로 Galois고 그 Galois group은 Frob auto로 생성되는 cyclic group인데.. 당연히 solvable

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

아아 fin가 대놓고 중요 조건이었구낭 왜 fin을 못본거지

[ㅇㄴㅇ(116.37)]

감사합니다!

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

아 싑 왠지 모르게 당연히 Q로 생각하면서 풀이 쓰고 있었는데 finite이라 나와있네... Q일때랑 비슷하게 될거같기도 한데 씁

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

쪽팔리니까 Q일때 풀이 써주면 1. 너가 아까 물어본거(transposition 하나랑 n cycle 하나가 Sn generate) 2. n차 irr의 galois의 order는 n으로 나눠짐 3. sylow 4. 실근 3개인 5차식의 존재 로 galois group이 S5인 5차 유리식이 존재함을 보일 수 있음

[ㅇㄴㅇ(116.37)]

n차 irr의 galois의 order가 n으로 나눠지는거 그 다항식이 중근잇어도되나요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

char0인 체에서 irr는 중근이 없음 만약 있다면 원래식이랑 미분한식 둘다 0으로 만들어버리니까 irr의 deg최소에 모순이고

[ㅇㄴㅇ(116.37)]

아 그게 char0인 field는 perfect이다 이정리맞죠?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

ㅇ

[ㅇㄴㅇ(116.37)]

프렐라이를 어찌 끝내긴 햇는데 갈루아부분이 너무부족해서그런데 대수책 하나만 추천해줘요.. 갈루아 다시보게ㅠ