[일반] 대수학 괜찮은 아이디어 제시 좀

[익명(175.117)]

R이 Hom_K(F, F)라던가 어떤 구체적인 대상으로 주어져있으면 

그에 대해서 free하지않은 R-module을 찾는게 어렵지 않은데 

일반적으로 invariant dimension property가 성립하지 않는 R에 대해서 free하지 않은 module을 찾으려니까 

잘 방법이 안 떠오름 

[익명(147.46)]

R이 뭐든 상관없이 R의 비자명한 quotient는 free R module이 아닌데 정확히 의도하고 싶은 질문이 뭐임

[익명(175.117)]

R의 비자명한 quotient가 R이랑 isomorphic하면 free R-module 되지. R \simeq R \oplus R 라고 가정했으니까, 이 basis를 x,y라 하면 R/Rx \simeq R이잖어

[익명(147.46)]

R의 action이 다르잖아

[익명(147.46)]

혹시 몰라서 덧붙이자면 R의 quotient ring을 R module로 본 걸 말하는거임

[익명(175.117)]

https://math.stackexchange.com/questions/708633/is-there-a-f-g-free-module-isomorphic-to-a-quotient-of-itself

[익명(175.117)]

아니라고 임마

[익명(147.46)]

quotient 'ring' 구체적으로 설명하자면 R/I에서 I-action이 무조건 0이어야 하니까 절대 free일 수는 없지

[익명(175.117)]

ㅅㅂ반례 바로 설명하고 싶은데 시간이 별로 없어서 이따가 설명함

[익명(147.46)]

지금 quotient module이랑 quotient ring이랑 구분하고 있는거 맞지? 링크는 quotient module 말하는건데

[익명(175.117)]

링크 내용은 살짝 다른 내용이긴 한데, 링크 내용 중에서 endomorphism ring over inifinite dimensional vector space 자세히 보셈

[익명(175.117)]

명제를 restate 하자면, R에 대해서 어떤 left ideal I가 존재해서, R/I \simeq R as left R-module isomorphism 이 가능하다. 이거임

[익명(147.46)]

근데 난 quotient ring 말하고 있는거고 I는 two sided ideal이야

[익명(175.117)]

two-sided ideal이 없는 ring도 있음. matrix ring over R의 two-sided ideal은 0이나 그 자신뿐임

[익명(147.46)]

그래서 처음에 비자명한 quotient라고 했던거임 ㅋㅋㅋ 물론 simple ring은 존재하지

[익명(175.117)]

본문에 적어놓은 조건을 만족하는 대표적인 예인 endomorphism ring over infinite dimensional vector space도 마찬가지로 nontrivial two-sided ideal이 없음

[익명(175.117)]

위 조건을 만족하는 R에 대해서 non free module을 설계하는 일반적인 방법에 대해서 묻는건데, nontrivial quotient를 취하는 방법은 그 답이 안된다 이거지

[익명(175.223)]

ㅇㅋㅇㅋ 내가 그 부분은 간과한거같음 그럼 더 쉽게 생각해서 R의 simple quotient module을 생각하면 어떰? R이랑 R+R이 같다면 free module은 절대 simple일 수 없잖아

[익명(175.117)]

그렇네. 그렇게 하면 되겠네 감사감사

[익명(175.117)]

이제 보니까 연습문제 바로 아래에 힌트 다 있었네;

[익명(147.46)]

그나저나 이번주 대수학1 과제 냄새가 강하게 나는데 ㅋㅋ

[익명(175.117)]

맞음 그거 하는중임

[익명(147.46)]

동기 ㅎㅇ

[익명(210.205)]

밤늦게까지 연구실에있네

[익명(175.223)]

ㄴㄴ 긱사임