pinter의 집합론 교재의 문제입니다.
let g: B->C, h: B->C are function, suppose g0f = h0f (0=circle) for every function f : A->B, A is not empty. prove that h=g. 가 문제입니다
이때, 문제에서 suppose가 항상 만족될 최소조건은 g와 h의 restriction of ran f 함수가 항상 같기만 하면 모든 f에 대해서 만족되는 것까진 발견했습니다.
그런데 이러한 종류는 f에 따라서 무수히 달라질 수 있기 때문에 결국 문제에서 g와 h가 하나의 함수로 고정되어 나온 이상 모든 f에 대해 가정이 만족하는 상황은
g와 h가 f의 innverse일 수 밖에 없다는 결론을 내면서 문제를 해결하고 싶은데 이를 수학적 문장으로 어떻게 나타내야 하는지 잘 모르겠습니다.
만약 이 문제가 prove되는 것이 맞다면 이러한 논지를 어떻게 수학적 문장으로 나타낼 수 있을까요?
아니면 이 문제가 disprove되는 문장이라면 function h와 g가 하나의 고정된 함수 이면서 어떻게 모든 f에 대해서 가정이 만족될 수 있을까요?
일단 g,h는 f의 inverse가 될수는 없음 그러려면 g,h의 공역이 적어도 A여야함. 계속 고민해보셈 그리 어려운 문제는 아님.
A=/=C란 조건도 없었으니, 하나의 고정된 함수인 h와 g가 각각의 restriction of ran f 가 항상 같을 최소조건을 만족시키기 위해선 알고봤더니 A=C이며 인벌스일수 밖에 없지 않느냐의 논지입니다. 왜냐하면 for every f:A->B라 하면 A=B, A=/=B인 모든 경우를 고려해야 하기 때문에 이 모든 f에 대해서 restriction of ran f 인 h,g가 항상 같으려면 g, h가 f의 inverse일 수 밖에 없지 않느냐는 뜻인 것입니다. 왜냐하면 문제의 주어진 g0f=h0f 가 성립할 수 있는 경우의 수는 무수히 많지만 h,g는 이미 구조가 고정된 하나의 함수인 거기 때문에 g와 h가 만약 f의 인벌스가 아니더라도 문제의 가정을 만족할 수 있는 함수가 있을 수 있겠지만
전 못찾아서 질문을 올린 것입니다.
"이 모든 f에 대해서 restriction of ran f 인 h,g가 항상 같으려면 g, h가 f의 inverse일 수 밖에 없지 않느냐는 뜻"여기서 좀 이상한거 같은데, 임의의 such f에 대해서 조건을 만족해야 하므로 f의 정의역과 공역이 B의 원소 하나로 이루어진 singleton이라 생각해보세요
그런경우는 모든 f의 경우의 수 중에 하나에 해당하므로 h와 g가 만약 그 함수에 대해 가정의 조건이 만족하는 함수라면, f가 만약 다른 함수일 경우 가정을 만족 못하게 되니까 inverse일수밖에 없다는 논지입니다. 가정에서는 모든f에 대해서 f에 대한 상호간 circle관계가 동일하단 가정을 하고 있으니까요. h와 g는 이미 문제에서 고정된 함수니까요