경제학과 학부생입니다. 경제이론갤에도 질문 올렸는데, 이거는 수학도분들도 더 잘 아시지 않을까 싶어서 여기에도 올립니다.
수업에서 Ito's lemma를 배웠습니다.
교수님께서는 Taylor expansion이라고 설명하셨습니다. 그리고 그렇게 생각하면 얼핏 이해가 되는 듯 합니다.
문제는, chain-rule에 대해 제가 알던 지식과 충돌한다는 점입니다.
앞에 있는 1변수라면 한 항, 2변수라면 두 항까지 하면 approximation 없이 성립하는 거 아닌가요?
인터넷 뒤져보니, chain-rule의 stochastic version이 Ito's lemma라는데, 제가 기존에 알던 ordinary (deterministic) calculus와 무엇이 다르기에 뒤에 항이 추가되는지 궁금합니다.
감사합니다!!
우선 확률과정론에서 나타나는 미적분학은 통상의 미적분이랑 다릅니다. 미적분 규칙이 다소 달라서 일반적인 미적분 규칙으로 그냥 하려면 좀 문제가 생깁니다. 논리적인 비약이 조금 있겠으나, 그냥 설명을 드리자면 마팅게일이라는 개념이 있습니다. 대충 현재시점에서 미래에 대한 최고의 예측은 현재상태라는 느낌의 개념입니다. 확률과정론에서 나타나는 이토적분의 경우에는 적분하는 기호가 dt와 dBt (또는 dWt)로 나타나는데, 각각 시간변수, 브라운운동에 대한 적분입니다. 대충 dt로 적분하는건 일반적인 적분이랑 비슷한데, dBt는 조금 경우가 다릅니다. ∫....dBt로 쓰면 (L2적분조건을 만족하는 경우에) 이 결과값이 마팅게일이 됩니다. 예상하기에 ∫ Bt dBt 같은 적분을 하면 미적분기본정리 같은 걸로 봐서
½Bt² 같은 결과를 예상하겠지만, ½Bt²는 마팅게일이 아닙니다. 아마 ½(Bt²-t)같은 꼴이어야 마팅게일이 됩니다. f(x)=½x²로 함수를 두면 f(Xt)=f(X0)+∫f'(Xs)dXs+½∫f''(Xs)ds 의 적분법(이토공식)을 대입하면 위 결과가 대충 들어맞는다고 생각할 겁니다. (여기서 Xt=Bt, dt=dt입니다.) 이렇게 뒤에 찌꺼기처럼 붙는 이유는 dBt로 적분한 게 마팅게일이 되도록 만들어주는 장치라고 생각하면 됩니다. 아니면 둡 분해 같은 거로 봐서 주어진 확률과정이 마팅게일인 부분과 마팅게일이 아닌 부분으로 쪼개려는 시도 쯤으로 이해해도 됩니다. 정말 이게 왜 달라지는지 설명을 하자면 지나치게 길어지니 그냥 말로만 때우겠습니다.