lnx=t치환 하고
1/x dx = dt 놓으면
x=e^t니까
dx=e^t dt 해서
인테그랄 f(lnx) dx = 인테그랄 f(t)*e^t dt
f(x)e^x의 부정적분을 G(x)라 하면
G(lnx)의 도함수가 f(lnx)
이렇게 걍 무지성 곱셈취급 하는거
대학가면 엄밀화해서왜그래도되는지배움?
사실 교과서내용만으로는
그냥 합성함수 역연산과정을 치환적분으로
할수잇음만 보일뿐
저렇게 무지성곱셈하는걸로는 안해주거든..근데
공공연히저리하지.
교과서의 방식대로하려면
lnx=t치환이아니라 애초부터
x=e^t로 치환해서
인테그랄 f(lnx) dx =
인테그랄 xf(lnx)/x dx =
인테그랄 f(t)e^t dt
로 하길 원하는거같거든.
저렇게 x남은식을 곱해준담에
t로정리하는게아니라..
(생각해보니 교과서 의도만으로는 x=e^t변환한걸
못곱해주는거아닌가??싶네.
부분적분해야되나?)
교과서가 예제 풀어주는 방식, 서술의도를 보면
인테그랄 f(lnx) dx = 인테그랄 e^t f(t) dt , (t=lnx)
임을 치환적분만으론 못보이고 부분적분을 해야될거같은데 맞음?
교과서의도로는 이걸 막 곱셈처럼 취급못해주니 남는 변수에대해 처리를 못해줘서,
무조건 한번에 가는식으로만 할수있는거인거같음..맞음?
치환적분 무지성으로 막 곱셈취급해서
해주는거에대한 엄밀화를 대학때 배우는지가 첫째 질문,
둘째질문은
아니면 저 교과서설명대로만으로도, 부분적분없이
인테그랄 f(lnx) dx = 인테그랄 e^t f(t) dt , (t=lnx)
보여줄수있는가.임
- dc official App
일변수 치환적분은 항상 합성함수미분의 역과정이고 이는 대학와서도 전혀 변하지 않음 dx = g'(t)dt여서 성립하는게 아니라 그렇게 보이도록 노테이션이 만들어져 있는거다 - dc App
그러면 두번째질문은 고교과정이 아닌거?치환적분만으로보면 - dc App
f(ln x)=F(x)라 하자. 그리고 x=e^t=g(t)라 하자. g'(t) = e^t = x이고, int f(ln x) = int F(x)dx임. 이게 좌변이고 int f(t)e^tdt = int F(g(t))g'(t)dt가 우변이다 지금까지 말한 등호는 전부 대수적인 조작과 renaming만으로 얻어지는거임 - dc App
이제 치환적분공식이 좌변과 우변이 같다는 걸 말해주고, 원하는 결과를 얻음 - dc App
정말 radical한 관점에서 얘기하면 int f(x)dx를 계산하고 싶으면 f'(g(t))g'(t) = f(x)가 되는 x=g(t)를 찾고(1), 치환적분을 적용하면(2) 둘의 적분이 같다는 결과를 얻는 거임 근데 노테이션이 잘 만들어져있어서 dx=g'(t)dt '처럼'보이니까 편하게 쓰는 거지 - dc App
참고로 노테이션이 잘 만들어져서 그렇다는 말은, 그냥 int f(x)dx = int f'(g(t))g'(t)dt에서 x=g(t)일 때 라이프니츠 표기법 g'(t)=dx/dt 를 그대로 공식에 대입하면 int f(x)dx = int f'(x) dx/dt dt 인데 (마찬가지로 그냥 대수적인 대입임) 라이프니츠 표기법이 분수모양이어서 - dc App
그냥 '약분된다'라고 생각해도 동일한 결과가 나온다는 말임 비슷한 예시로 dx/dy = 1/(dy/dx) 이기 때문에 역함수 미분법이 성립하는 게 아니라, 역함수 미분법이 성립하기때문에 저 노테이션이 성립한다(물론 고등학교 교과서는 좀 스리슬쩍 넘어가는 경향이 있지만) - dc App
좀 더 잘 이해하고 싶으면 그 왜 보통 일변수 치환적분에서 치환하는 함수가 일대일대응이어야한다면서 주장하는 예시 나오는 거 있지? (물론 실제로 아니지만) 그 예시 보면서 내가 말한 radical한 방법으로 이해하려고 해보셈 그럼 일변수치환적분에서 일대일대응이어야 한다는 예시가 어디서 논리의 헛점이 생기는지도 알 수 있음 - dc App
핵심만 얘기하자면 치환적분은 그냥 저런 모양의 좌변과 우변이 있을때 그 둘이 같다는 정리임 뭐 치환을 했더니 dx가 g'(t)dt로 바뀌고 이런게 아니라 직관적으로 얘기하자면 lim x->1 x 가 1로 다가가는 수가 아니라 그냥 1인거랑 맥락은 같다 - dc App
일변수는 해석개론1 마지막에 배울거임
뭐야? 요새는 고등학교 교과서가 pdf로 나와서 이렇게 스샷 찍어서 쓰고 하는 거야? 편리하네.
코로나 터졌다고 몇몇 회사들이 사이트에서 공개해두던데 물론 저작권때매 함부로 찍어올리면 안되겠지만....
답변: 1. 저거보단 더 엄밀하긴 한데(예를 들면 저 설명에선 부정적분 ∫f(x)dx = F(x) +C으로 설명하고 있는데, 적분상수 없이 정적분 ∫(a,b) f(x)dx을 쓰는 게 낫지. 그거 말고 여러 전제조건도 있고.), 기본 뼈대는 비슷해. 다만 그 이전에 엄밀한 해석학적 기초로 준비물을 전부 마련해 놓고 나서, 치환적분은 그 준비물을 써서 간단하게 응용으로 보여 주는 거야. 그럼 뭐 저거 비슷하게 금방 끝나지. 2. 부분적분 필요 없음.
두번째질문에서, 그럼 교과서노테이션 따라가면서 저걸어떻게보여줘? - dc App
F(x) = F(g(t)) = F(logt) 로 놓고 한번 해 봐.
역시보일려면 부정적분을 하나 잡아주는식으로밖에 없나? 그럼, 치환적분 시 이전변수가남아잇을때 그 이전변수를 항상 새변수로 바꿔도맞다는거도 부정적분 취하는거로 다 보일수있나? - dc App
닫힌 구간에서 연속인 함수에 원시함수가 존재한다는 것을 이용해서 증명하는 거니까.
변수 치환하는 건 그냥 네가 정의한 대로 정확하게 하면 되는 거고.
예를 들어서 네가 x := g(t) := logt 로 놓았다고 해 보자. 그리고 식에서 t항을 x로 나타내고 싶어. 그럼 t(x)는? 자동으로 나오겠지.
그리고 df/dx 표기법은 원래는 곱하기가 아니라는 걸 정확하게 이해하고 있으면 편리한 표기법이고.
곱하기란다. 나누기.