[일반] 선형대수학 문제 좀 도와주실 분 계신가요

[익명(183.108)]

23번입니다. 어떻게 시작해야할지 감도 안 오네요. 어떻게 접근하면 좋을지 알혀주시면 감사하겠습니다

[wlltmprdclvr6(wlltmprdclvr6)]

1. 행끼리, 혹은 열끼리 바꾸면 det은 부호만 바뀜 2. 1에 의해 det의 부호만 바꾸고 k×k submatrix를 맨 위 왼쪽에 가져올 수 있음. 3. rref로 바꾸면 k×k 부분은 가역이라 단위행렬이 됨. k×k 아래부분은 단위행렬로 밀어버리면 0이 됨. 문제는 오른쪽 아래부분인데, 만일 이부분이 0이 아니라면 - dc App

[wlltmprdclvr6(wlltmprdclvr6)]

largest 조건에 모순임. (만일 0이 아니라면, 0아닌거 끼면 det이 0이 아닌 k+1정방행렬 만들 수 있음) - dc App

[Rafle(probaroque)]

(a) k x k submatrix의 determinant가 0이 아니므로 k개의 row는 서로 independent하고, 따라서 n x n matrix A에서도 이 k개의 row는 independent임. 따라서 rank(A)는 최소 k 이상이다. 만약에 rank(A)가 k+1 이상이라면, k+1개의 independent인 row vector를 찾을 수 있겠지. 그럼 이 row vector들만 고려한 (k+1) x n matrix에서 row echelon form을 받아들이면(결국 gaussian elimination으로 나온거니까.. 아마 맞겠지 뭐) pivot 위치의 k+1개 column을 취했을 때 나오는 (k+1) x (k+1) submatrix의 row들도 independent라서 모순이 생김.

[Rafle(probaroque)]

따라서 rank(A) = k가 되고 (a)의 증명이 끝나. (b)는 뭐 (a)에서 k+1에 대해서 했던 논의를 k에 대해서 옮기는 걸로 끝나겠지? 사실 n개의 coordinate를 가지는 k+1개의 independent vector들에 대해서 k+1개의 coordinate만 잡아도 독립성이 유지된다, 부분이 가장 nontrivial한 부분인거 같은데 생각하기가 귀찮아서 대충 row echelon form의 pivot이면 되지 않을까? 라는 나이브한 추측으로 썼음 틀리면 아 몰랑~

[익명(183.108)]

두 분 모두 감사합니다