A be a set and 2 = {0,1}. P(A)을 멱집합이라 했을 때,
2^A be function A to 2이라면 2^A와 P(A)사이 1대1 대응이 성립한다는 것을 증명하는데 증명과정에서 이해가 잘 안되는 게 있습니다.
PF) define function V : 2^A -> P(A) as V(f) = {x in A ㅣ f(x) = 0 }
= f^-1(0)
* f(X) = ran f l X, f lX는 X⊂A인 restriction function입니다. 따라서 f^-1(0)은 f(x)=0이게 하는 모든 A의 원소 x들의 집합이며, 이는singleton set 0에 대한 pre-image입니다.
이렇게 함수를 정의해서 1대1 대응임을 증명하는데 함수를 이렇게 정의한다면 만약
A ={1.2}라 할 때, f는 V가 정의됨에 따라 A의 모든 원소가 함수 f에 의해 2의 원소 0으로 대응될 것이기 때문에 함수는 f = {(1,0), (2,0) } 이렇게 되며, 결국 V의 정의역의 원소인 함수는 1개 밖에 없게 되어 일대일 대응이 되지 않을 듯 싶은데,
또 신기하게도 V(f)를 f^-1(0)으로 보는 것이 가능하기에 f^-1(0)의 종류는 {1},{2},{1.2} {empty}가 되어 4개로 동일하게 1대1 대응이 됩니다.
정의역의 원소, 즉 함수 V를 위와 같이 정의한다면 x의 원소는 전부 0으로 대응되기 때문에 함수의 종류가 하나밖에 없어 결국 함수 V의 정의역은 1개 밖에 안되는데 어떻게 1대1이 가능하게 된거죠?? 분명 제가 이러한 풀이를 이해하는 과정에서 잘못 이해했기 때문에 이러한 인식이 생긴것 같은데 무엇때문인지 궁금합니다
2^A에 들어가는 함수는 {(1,0),(2,0)},{(1,0),(1,1)},{(1,1),(1,0)},{(1,1),(2,1)} 네 가지임. V를 정의하기 전이라고 생각해 봐. 잠시 V의 정의를 잊고 2^A가 뭔질 보면 A에서 2={0,1}로 가는 함수의 집합임.
아마 V를 정의할 때 f(x)=0이라 쓴 부분때문에 f가 항등적으로 0이어야만 V의 정의역에 포함된다 생각한거 같은데, 저기 써져있듯이 V:2^A->P(A)여서 정의역은 2^A가 맞음. {x in A:f(x)=0}은 'f에 집어넣으면 0이 나오는 x의 집합'으로 이해해야함
그럼 저기 있는 A={1,2}의 경우, {(1,1),(2,0)}는 1 넣으면 1 나오고 2 넣어야 0이 나오니 {2}로 대응되는 거고 {(1,1),(2,1)}은 뭘 넣어도 0이 안 나오니 공집합에 대응되는거
직관적인 이해를 원한다면... A의 어떤 부분집합 X가 주어지면, A의 모든 원소는 딱 두 가지만 가능함. X에 속하거나, X에 속하지 않거나. 이걸 함수의 언어로 바꾸면 A에서 {속한다,속하지 않는다}로 가는 함수가 있다는 것이고, 속한다를 1, 속하지 않는다를 0으로 보면 글에 있는 V의 역함수로 볼 수 있음.
아 감사합니다. 의문이 완전히는 아니지만 어느정도 이해가 된 듯합니다. 죄송한데 조금만 더 질문드릴게요 ㅜㅠ. 답변을 보니 제가 V를 정의하면서 "as V = .... "인 문구가 잘 이해가 안가서 혼동이 오는 것 같은데, "as V(f) = {x in A ㅣ f(x) = 0 }"라는 문구가 V의 정의역의 원소인 f를 공역의 원소에 대응시킬건데 각각의 함수들에 대해서 f들을 해당 사례들에서 f(x)=0이 되게하는 x들의 집합으로 대응시킬 것이라고 말한거 맞죠? "
제가 혼동이 오는 이유가 f(x) = 0이라는 하나의 문구만으로 모든 f가 정의되면서 V가 정의될 수 있다는 것에서 혼란이 오는데, f(x')=1인 어떠한 x'를 고려할 필요가 없는게 f(x)=0이 가능하게 하는 모든 경우의 수를 이야기 하는 것이 모든 가능한 f의 경우의 수를 이야기 하는것과 다를바 없는거기 때문인거라서 그런건가요? 이것은 f;A->2={0,1}이 아니더라도 2={0,1,2 ....}인 무작위의 숫자라도 그런거고요?
'V(f)=뭐시기'는 그냥 함수 V가 f를 받아서 던져주는게 '뭐시기'라는 의미임. as는 우리말로 하면 뭐 '으로' 정도? 함수 V를 V=뭐시기로 정의하자. 라는거
혼동이 오는 이유는 뭘 말하고 싶은건지가 잘 이해가 안 가는데... V를 정의하면서 f를 정의한 적 없음. 네가 헷갈려하는건 아마도 V와 V(f)를 구분하지 않은 데에서 오는 게 아닐까? V는 함수니까 V(f)는 V가 f를 어디로 보내는지를 말하는것임. 그러니 공역의 원소겠지. f가 정해지면 V(f)를 얘기할 수 있는거지 V의 정의만으로 가능한 모든 f를
알 수 있다던가 하는건 당연히 아니고. 2={0,1}이라는 문구는, 진짜 정말 2라는 숫자가 저 집합이라는 의미임(나중에 자연수 정의하는 파트에서 자세히 나올텐데, 지금 미리 소개한것뿐임). 그러니 2={0,1,2}이거나 하진 않음. 지금은 그냥 익숙한 숫자 2 대신, {0,1}을 표현하기 위한 기호 정도로 취급해. 답변해놓구 늦게본건 미안함..
그러니까 V(f)가 문제에서 해당 f에서 A원소 x가 f에 대해 0으로 대응되게 하는 그러한 x들의 집합을 의미하는 거잖아요. 그리고 V는 정의역의 원소인 각각의 f들에 대하여 각각의 f가 0으로 가는 그러한 x들의 집합에 대응시켜주는 거고요, 제가 궁금한건 각각의 f(x)=0이 되는 모든 케이스를 살펴본다는 말이 모든 함수 주어진 제반조건에서 성립되는 모든 f를 고려한다는 말이 곧 될 수 있느냐, 그 뜻을 의미하느냐에 대한 의문인거에요.
그리고 제시된 f의 예시는 정의역과 공역이 단순하고 또 말씀해주신 답변덕에 어떠한 함수인지 이해가 되었는데, 만약 A={1,2,3....}, B={a,b,c...} f: A->B, V:B^A->P(A) s.t V(f) ={x in A : f(x)=a }라 해도 이 사례로 변경이 되어도 모든 f에 대해서 다루게 되는게 맞는지가 궁금한 것이였어요
자꾸 질문드려서 괜히 성가시게 만드는 것같아 죄송합니다 ㅜㅠ 어딘가 납득?? 이게 제 뭔지모를 제 아집에 기반한 것일수도 있고, 뭔지 모르겠지만 아무튼 저 표현에 대해서 하나만 이해??가 간다면 고민이 해결될 것 같아 계속 질문을 드립니다 ㅜ 답변 해주시는 것만으로도 정말 감사합니다. 미안해할필요 없어요
그 조건을 만족하지 않는 f가 있으면 어찌하느냐? 라는 질문이라면, 보통 그런 문제를 없애기 위해서 함수가 '잘 정의되는지'를 확인함. 예를 들어 위에서 정의한 저 V의 공역을 만약 공집합이 아닌 A의 부분집합들의 집합으로 한정했다면, f를 {(1,1),(2,1)}으로 두었을 때 V(f)가 공집합이니 잘 정의되지 않겠지. 물론 저기선 공역이 멱집합이라 괜찮
아 댓글을 아래에 잘못썼네 아래에 달린건 방금 전에 단 댓글 바로 전 내용임. 네가 말한대로 A와 B를 설정해도 아무 문제는 없음. 다만 저렇게 정의된 V는 역함수가 없으니 일대일대응임을 보이는 데에 쓸 순 없겠지
아.. 이제 이해가 갔습니다 ㅠㅜ 이해인지 납득인지 모르겠지만 제가 의문이 들었던게 V의 조건으로 제시된 문구는 분명 특정한 f에 대해서만 다루는 듯 보이는데 어떻게 2^A의 모든 함수가 대응될 수 있는지에 대한 의문인 것 같네요. 그리고 그게 가능했던게 공역이 멱집합이였기 때문인 것이구요.. 질문도 아는 것이 있어야 질문이 가능한데 그게 잘 안되서 제가 무엇을 모르는지 질문을 하는 것도 어려워서 이렇게 길게 끌린 것 같습니다. 정말 감사합니다 ㅜㅠㅠㅠㅠ
굳이 첨언하자면 '모든 f에 대해' 정의된다고 볼 수 있는 이유는 정의역이 A^2여서라고 보는 게 맞아. A^2가 'A->2인 함수들의 집합'이니까. 만약 정의역이 'A->2이면서 f(1)=0인 함수들의 집합'이었다면, A->2인 모든 함수들에 대해 V(f)가 정해졌다곤 할 수 없겠지. 우리가 함수가 잘 정의됐는지 확인하는 것은,
f가 정의역에 속할 때 V(f)가 공역에 속하는지를 확인하는 것이니, 방점은 정의역에 있다고 봐야지.
"주어진 제반조건에서 성립되는 모든 함수 f"를 고려한단 건 V(f)를 정의할 때 언급되는 게 아니라, V의 정의역이 2^A라는 데에서 오는거야. 함수의 정의를 상기하면, 정의역의 모든 원소에 대해 대응되는 공역의 원소가 있어야 하고, 이 말인즉슨 V(f)의 f는 정의역의 모든 f를 말하는 것이지. 만약 V(f) 정의에서 전제하는 f의 어떤 성질이 있는데