[일반] CW complex질문좀

[익명(175.223)]

attaching morphism 이거 공역이 반드시 skeleton일 필요는 없는거지? wiki 보니까 그럴 필요는 없는 거 같긴한데,

궁금한게 만약 이게 맞다면, 모든 attaching morphism이 skeleton을 공역으로 갖게끔 cell을 잘게 쪼개는게 가능?

[익명(110.76)]

n cell의 attaching map은 n-1 skeleton으로 가야함 니가 이런게 잘되게 주어진공간을 cw decompose하는거임

[익명(175.223)]

근데 왜 내가 보는 article은 그게 아닌거 같냐..ㅠㅠ

[익명(110.76)]

참고로 attaching map의 특정부분에서만 성립하면됨 n cell의 경계부분. 나머지 부분은 homeomorphic하게 잘 움직이면되고. 내가말을헷갈리게쓴듯

[익명(175.223)]

ㅇㅇ 그니까 내가 보는 article에서 k cell boundary의 공역이 k-1 skeleton이 아닌거 같음..

[익명(110.76)]

그럼 나도 모르겠다 위키에도 써져있음 the image of the boundary of the closed ball is contained in the union of a finite number of elements of the partition, each having cell dimension less than n.

[익명(175.223)]

http://scgp.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2018/09/lecture-1.pdf

[익명(175.223)]

이게 지금 내가 보는거임.

[카카오(73.146)]

보는 아티클 어느부분에서 그런 얘기가 나오나요? "n cell의 attaching map은 n-1 skeleton으로 가야함" 이 조건은 CW complex의 정의에 필요조건이에요

[익명(141.223)]

2페이지 제일 윗줄 읽어보면 finite number of dijoint closed disks D_i in S^k를 생각한다는 게 이해가 안가서요. 이게 된다는 거면 S^k에서 저 disk들을 빼도 k-dimensional submanifold가 남아야하는 거 같은데 그렇진 않잖아요.

[카카오(73.146)]

"이게 된다는 거면 S^k에서 저 disk들을 빼도 k-dimensional submanifold가 남아야하는 거 같은데" 이부분이 왜 그런지 모르겠네요. 저 문장이 의미하는거는, "attaching map이 상당히 거지같을 수 있지만, 적절하게 homotope 해서 이쁘게 만들 수 있다"에요. 지금 (k+1)-cell을 붙히는거니까 attaching map은 k-sphere에서 k-skeleton으로 가는 map이 되요.

[익명(39.7)]

음.. 그래도 잘 모르겠는데 구체적으로 설명가능한가요? disjoint "closed" disk를 잡아서 sphere를 cover해야지 attaching map이 말한대로 될텐데 그게 가능한가요?

[카카오(73.146)]

disjoint closed disk를 이용해서 sphere를 커버할 수 없어요, 왜냐면 disjoint "closed" disk이기 때문이에요.

[익명(39.7)]

cover를 해야 attaching map이 말 그대로 boundary를 skeleton으로 옮기는게 아닌가요? ㅠㅠ 제가 뭔가 잘못이해하고 있나요

[카카오(73.146)]

댓글로 얼마나 설명이 가능할지 모르겠지만 일단 해볼게요, X^0 = pt, X^1 = S^1이라고 해봐요, 그리고 우리는 X^2 = X를 만들고 싶어요, 즉 2-cell을 붙혀야 하죠. 그러면 attaching map은 phi:S^1 -> X^1 = S^1이 될거에요. 참고로 이런 맵은 up to homotopy로 Z(정수)만큼 존재하죠, (sphere의 self-map은 degree가 classify). 다시말해서 phi가 이상한 모양의 함수더라도 적절하게 homotope해서 S^1을 적절하게 n번 감는 함수로 만들 수 있다는 거에요. n=2라고 가정해봅시다 그러면 공역 S^1의 1-cell = 1-disk의 preimage는 정의역 S^1에서 두개의 1-disk로 나올거에요. 직접 그림 그려가면서 설명하

[카카오(73.146)]

면 되게 쉬운건대 글로 쓰려니 좀 쉽지 않네요, 아직도 모르겠다면
https://open.kakao.com/o/syFs5Zed

[익명(39.7)]

아 이런 젠장할 이제 이해가 가네요 an open k-cell이였네요 망할

[익명(39.7)]

그럼 뭔소린지 알겠어요 고맙습니다

[익명(118.235)]

근데 다시 생각해보니까 그건 좀 이상한데.. 그렇게 나온 2개의 disk가 disjoint가 아니잖아요

[카카오(73.146)]

이거 마치 Mobius band의 바운더리를 S^1으로 projection하는거랑 같은 그림이죠, 아니면 2-1 covering space라고 생각해도 되고요. 공역의 S^1의 open 1-disk에 대해 preimage를 생각하면 정의역 S^1에서 두개의 disjoint 1-disk로 나와요.

[익명(175.223)]

근데 disjoint closed disk가 아니잖아요..

[카카오(73.146)]

Disjoint open disk요

[익명(175.223)]

예.. 근데 그게 제가 이상하다고 생각하는 부분이에요 article에선 disjoint closed disk D_i 들을 생각하거든요

[카카오(73.146)]

자료에는 "interior of each disk maps homeomorphically onto an open k-cell of X." 라고 나오네요

[익명(175.223)]

예 그건 아는데 지금 들어주신 예시로서는 disjoint closed disk를 어떻게 잡는지는 잘 모르겠어서요.. 그것들의 interior가 cell로 가는 건 알겠거든요..

[카카오(73.146)]

아아... 미안해요 내가 계속 다른말 하고 있었네요. 이경우 정확한 2-1 cover를 생각하지 말고 맵을 다시 조금 변형해야되요. 그냥 disjoint closed disk 두개 생각한다음 그럼 complement는 두개의 open interval이 나오겠죠, 이 open interval을 0-cell로 보내는 map을 생각하면 되요!

[익명(175.223)]

그럼 이제 그걸 S^k의 경우로 옮긴다하면 어떻게 이해를 하면 될까요?.. k-1 skeleton을 적당히 thickeneing시킨거로 보먄 될까요?

[카카오(73.146)]

skeleton을 thickening 시킨다는말이 무슨뜻이에요? 우리는 attaching map을 잘 변형해서 원하는 성질로 만든건데...

[익명(175.223)]

위의 경우는 1차원이니까 canonically 그런 map을 찾는게 쉬운데, k차원에서는 어떻게 하는지 궁금한거에요.

[카카오(73.146)]

음.. 일단 중간점검을 합시다. CW complex에서 k-cell에 대한 attaching map의 공역은 (k-1)-skeleton 이라는점에는 문제 없는거죠?

[카카오(73.146)]

이제 위에서 했던 짓을 k-차원에서 하려면 적절한 homotopy를 새로 만들어야 하니까 homotopy extension property를 써야할거 같은데.. 고민해볼게요

[익명(175.223)]

중간 점검) 그 부분은 해결된 거 맞아요

[익명(175.223)]

ㄴㄴ 넵 ㅠㅠ 같이 고민해주셔서 감사합니다

[카카오(73.146)]

https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/homotopy.pdf
여기 Lemma 11.1에 보면 Sooth approximation and Sard’s theorem을 이용해야한다 나오네요.... 차라리 Davis-Kirk 의 7단원을 보는게 어때요? ㅋㅋ

[익명(175.223)]

그냥 다른 걸 보는게 좋겠네요. 감사합니다!! Hutchings라는 분이 쓰신 저것도 괜찮나요?

[카카오(73.146)]

Hutching이 쓴게 위에 링크랑 같은 증명일거에요. 저게 나쁘다는건 아닌데, 저런 미분위상의 툴을 쓰지 않고도 증명가능할거에요. 저런게 편하면 저걸로 증명해도 무방할거에요.