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문제는 그림의 별모양 open set이 simply connected임을 보이는거임. 먼저 별모양 영역을 정의하려고 함.


"open set O in C is star - shaped
if there exist a point z_0 in O such that for any z in O, the straight line segment between z and z_0 is contained in O."
(여기서는 오메가 기호를 못써서 그냥 O라고 썼음. 사진상에서는 오메가라고 할거임)


z_0를 사진에 표시함. 저 점에서 line segment를 만들면 그 line segment는 반드시 star-shaped 안에 들어감..


위 사진에서 r_0와 r_2는 [a,b]에서 정의되었다고 할게



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이제 우리는 r_s를 직접 만들어서 이걸 보여야 함. s가 [0,2]의 원소인건 문제 풀다보니 내 사정에 맞춘거임. 원래 정의는 [0,1]의 원소.

알파와 베타는 각각 r_0과 r_1의 시점과 종점이다.

아무래도 star-shape 정의상 z_0를 사용해야겠지.. z_0를 거치지 않으면 line segment가 영역 안에 있음을 보장하지 못하니까 말이야.

그러면 r_0 위의 한 점에서 z_0까지 line segment 만들고 다시 z_0에서 r_2까지 line segment를 만들어서 r_s를 정의할 생각을 해 볼 수 있겠음.

맞춰야 할 조건이 두가지인데 그 중 첫번째 조건이 계속 날 괴롭히고 있음. 지금부터 몸비틀기 들어간다







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먼저 r_s를 이렇게 정의하자.

두번째 조건이 맞는지 확인하기 위해 s =0, s = 2를 각각 대입하자. 잘 들어맞는다.

문제는 첫번째 조건, 각각의 s에 대해 r_s의 시점과 종점을 확인하는 일임.

0<s<1 이면 그래프가 중간에 끊겨서 종점이 베타가 되지 않음을 바로 알 수 있다. 난 여기서 몸을 한번 더 비트는데..





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첫번째 조건을 맞추기 위해서는 s를 임의로 선택해도 그래프가 중간에 끊기는 일이 있어서는 안됨. 그래서 식을 한번에 정의하기로 했다.

계수가 이차식으로 나온건 두번째 조건 맞추려다보니 자연스럽게 된거임. 일차식으로는 불가능하겠더라고


이제 시점과 종점을 확인하려고 봤더니.. 이번엔 망할 z_0가 걸리적거림. 얘만 없어도 계수 적당히 조정해서 시점, 종점 맞추는거 될거같은데 z_0가 심하게 거슬림.





이후로는 이렇다할 진전이 없었음.

결국 z_0를 계속 처리하지 못한 채로 새벽 3시가 되었다..
z_0뿐만 아니라 r_s가 r_0와 r_2 사이에 있는지도 신경써야 하나? 이걸 신경써야 하면 접근 방법이 처음부터 틀린걸텐데.. 아 ㅅㅂ 모르겠다 지친다 이제



과제라서 도움 요청하긴 싫었는데 진짜 ㄹㅇ 모르겠다. 저 z_0 어떻게 처리하지? 망할 별모양 영역이 나를 괴롭히고 있어.. 두번째 문제에 비하면 쉬운 문제일텐데도..