[일반] Finite complex vector space는 complete.

[익명(175.223)]

Finite vector space over C 를 V라 하자

C에 있는 modulus 이용해서

V에서 Norm하나 이쁘게 정의할 수 있지

근데 모든 norm이 equivalent하잖아 finite라서


그러면 V = V** by the map v -> vhat 임을 알고 있는데

이 map이 V**에 operator norm을 주었을 때

isometric isomorphism이잖아

근데 C가 complete라서, V**는 자동으로 complete

따라서 V도 complete

맞음??

[익명(58.140)]

그냥 complete metric space를 유한 개 곱한게 complete인거 쓰면 안됨? - dc App

[ㅁㅁ(175.223)]

Isomorphism이나 homeomorphism이 complete를 보존해주지는 않아서?

[ns(qwer2357)]

저 위에 모든 norm이 equivalent하잖아.. 로 부터 되잖.. V의 basis 고정할때 코시수열이 C^n의 usual norm으로 수렴 iff V에서 수렴. 물론 원문 내용도 내가 간과한게 없으면 맞긴 맞는데

[ns(qwer2357)]

뭐랄까.. Serre나 할법한 증명이군요 케장콘이 있으면 달아주고 싶은 증명이네

[익명(110.35)]

복잡하게 생각할 필요 없이, n차원 벡터공간 (over R or C)이 normed vector space가 되도록 아무 norm을 들고오면, 그 공간은 항상 R^n이나 C^n의 norm과 equivalent할테니 completeness는 그냥 보장되는것임.

[익명(175.223)]

ㅋㅋㅋ괜히 복잡하게 생각했네 다들 고마워!!