let f(X) = {y l for some x in X s.t. (x,y) in f } is the direct-image of X under f
let f : A->B, then prove that
f(C n D) = f(C) n f(D) for all C,D is subset of A iff f is injection.
n = "intersection of"
pinter 집합론 문제인데 우에서 좌는 증명이 되었는데 좌에서 우는 증명이 다소 안되네요. 제 어찌 구색은 맞춘듯한데 이게 맞는건지 검토 부탁드립니다.
이러한 문제는 f를 특정함수로 제시해서 풀어야 되는건가요 아니면 이렇게 일반화를 해야하나요?
일단 A의 원소 x1를 하나 잡자. C := {x1}로 놓고 D := A - {x1}로 놓자. 그러면, f(C n D) = {}이므로 f(C) n f(D) = {}이어야 한다. 이제 A의 원소 x2가 f(x1) = f(x2)를 만족시킨다고 가정하자. 이때 만일 x1과 x2가 다르다면, x2는 D의 원소이므로 f(x2)는 f(D)의 원소가 된다. 그러면 f(x1)은 f(C)의 원소이면서 f(D)의 원소인데, 이는 f(C) n f(D) = {}임에 모순이다. 따라서 f는 단사함수이다.