∏_i in I A_i = {f : I -> U_i in I A_i l for all i in I s.t. f(i) in A_i } 로 {A_i}_i in I 가 family일 때, product을 이렇게 정의하는데,
1) if {B_i}_i in I 가 A의 subclass들의 family일 때, ∏_i in I B_i는 어떻게 이해해야 하죠?
이 product의 원소인 함수는 f : I -> U_i in I B_i 이고, U_i in I B_i는 모든 B_i의 원소를 합한 것이니 A와 다를바 없는 것 같은데, 그렇다면 이는
I X A의 순서쌍을 원소로 가지는 것과 같은건가요??
2) ∏_i in I B_i = {f : I U_i in I B_i l for all i in I s.t. f(i) in Bi, Bi is subset of A } 는 어떠한 원소들을 가지는 것인지 가르쳐주시면 감사하겠습니다.
또한 class가 잘 이해 안되서 만약 A = {a,b}라면, B_i의 종류는 4개지만 B1이 각각 {a}, {b}, {a,b}, {}일 때, 전부의 경우의 수를 모든 경우를 고려해줘야해서 f가 상당히 많을 듯한데,
말한대로 A의 부분집합은 4개지만 각각의 B_i 의 경우의 수가 많아, B_1이 4가지가 될 수 있기에 경우의 수가 4!=24개나 나오며 이에 따라 2)에 제시된 product의 원소도 각각의 경우의 수에 대한 함수를 원소로 가지므로 f가 24가지 있는 것이 맞나요?
1] f의 원소들은 I x A의 순서쌍들임. 2] 님이 I를 주셔야지 답변이 가능함.
A가 {a, b}이고 이에 가능한 부분집합이 4개니까 I가 {1,2,3,4}인 것은 자동으로 함의되는 것이 아닌가요?
네 아니에요 ㅠㅠ
그럼 만약 I={1,2}라면 제시된 product of family는 어떠한 원소들을 가지게 되나요? 그리고 I = {1,2,3}과는 어떻게 다른가요
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=27465
1) B_i의 Union이 A와 같다는 보장이 없음. A={0,1,2}, B_1={0}, B_2={1}이라 생각해봐. I×(union Bi)의 원소는 당연히 I×A의 원소일테니 주어진 product의 원소 f는 I×A의 원소들을 원소로 가진단건 맞음
2) 그냥 위랑 똑같은거잖아
"B_i의 Union이 A와 같다는 보장이 없음." 저도 이거 지적했어야 했는데, 깜빡했네요 ㅎ
뭔가 구체적인 예시를 하나 잡아가지고 원소는 뭐가있고 개수는 올마고 이런걸 하나하나 다 따져봐야 직성이 풀리는 성격인가본데, 무한이 개입하는 순간부터 그런거 불가능해지니 개념은 개념으로만 받아들이자. 그리고 함수는 존재성을 보장하기 위해 집합을 통해 정의한 것뿐이라서 굳이 매번 이렇게 집합으로 볼 필요는 없음. 그냥 전에 알던대로 생각해
2)는 가능한 B_i를 모두 고려하라는 뜻이 아님. I가 주어지고 I의 각 원소 i에 대해 B_i가 주어진 상태에서 생각을 하는거지. 어떻게 중괄호 바깥에 있는 놈한테 조건을 달겠어? 이런식인거지: f(a,b)={a/b}로 정의하고 싶다면 b가 0이 아님이 전제되어야 함. f(a/b)={a/b:b!=0}으로 쓸 건 아니잖아.
개념이 잘 이해가 안되서 간단한 예시를 유비로 이해하려고 질문을 드렸습니다. 이로부터 실제로 제시된 문제가 가령 prod_{i in I}{B_i}, {B_i}_{i in I} 는 A의 subclass의 family일때, " prod_{i in I}{B_i} is subclass of A^I "를 증명해야 하는데, 함수가 잘 이해 안되서 어떠한 상황을 가정하고 그것이 무엇인지 알겠으면 이를 증명하는 것을 어디서 부터 시작해야지 감을 잡을 수 있을 거 같아 질문을 드린 것이었습니다.
그건 함수를 이해 못한게 아니라 증명이 어떻게 되는지를 아예 모르는거 아님? 개념 다 이해됐다는 전제 하에 증명 어떻게할건지 불러봐
prod_{i in I}{B_i}이것은 f : I ->U_{i in I}{B_i} 인 function을 원소로 가지는 집합인데, U_{i in I}{B_i}이는 결국 A의 부분집합들의 모든 원소를 모은 것이므로, A와 다를바 없는 것이니 결국 prod_{i in I}{B_i}는 f: I->A인 함수를 원소로 하는 집합인 것이며, 이는 결국 A^I의 subclass일 수 있다는 논지로 증명을 할 것인데, 문제는 I가 구체적으로 가령 {1,2}로 정해졌을 때, prod_{i in I}{B_i}이것이 어떤 원소를 가지는 집합인건지 이해가 안간다는 것입니다. 그래서 이러한 상황이 개념이 잘 이해가 안된 상황인 것으로 이해하고 본문의 저러한 질문을 드린 것이였어요
뭐라해야할까... 증명을 좀 더 형식적으로 하는 법을 익혀야 할 것 같다. 결국 궁극적으로 보이려는건 "어떤 class X가 어떤 class Y의 subclass이다"겠지? 이게 무슨 의미냐? x가 X에 포함되면, x는 Y의 원소이기도 해야한다는거야.
그럼 이제 f가 주어진 product의 원소라 하자. product의 정의에 의해, f는 I->U B_i인 함수인데, 모든 i in I에 대해 f(i)가 B_i에 포함된다는 걸 할고 있지. 그런데 B_i가 A의 subclass라면서? 그러면 임의의 i in I에 대해 f(i)는 A에 포함되겠네? 또 B_i의 union도 A의 subclass일테니, f는
I->A인 함수로도 볼 수 있어. 그러면 다시 product의 정의에 의해 f(i) in I×A가 되어, 증명이 완성되는거야.
여기서 문제는 무엇이었느냐? 첫째 B_i는 "임의로 주어진" 집합족이다. A의 모든 subclass를 B_i로 쓰겠단게 아니고, 이미 subclass들인 B_i가 주어진 상태란거야. a_1=1, a_2=2n a_3=3라 했을 때 a_i를 모두 더한 건 1+2+3=6이지 자연수를 모두 더한 게 아니잖아. 비슷하게, 모든 subclass를 고려할 이유가 전혀
없음. 내 생각엔 아마도 임의의 집합족 {B_i}에 대해 명제가 성립함을 보이고 싶어서 모든 가능성을 따지려고 한 게 아닌가 싶은데. 그럴 필요가 없다는 건 증명 과정을 보여줬으니 이해했을테고.
둘째. I와 A는 별개이다. I={1,2}일 때 주어진 product는 뭐가 되느냐? 당연히 모르죠. A가 뭔지 모르고, B_1과 B_2가 뭔지 모르니까. 반대로 A를 안다고 해서 I를 알게 되는 건 아님. 지금 이 product의 정의 대신, 순서쌍으로 정의하는 방식을 생각해 본다면 X×Y는 어떤 X와 Y를 기져와도 만들 수 있는거잖음?
근데 뭔가 이상한데? I×A의 subclass가 아니라 prod_I A의 subclass가 되는 게 맞음. 나도 증명 과정에서 실수를 했구만. 마지막은 f in prod_I A라고 쓰는게 맞음.
간단한 예시를 들자면 a, b, c가 짝수인 (a,b,c)는 a,b,c가 정수인 (a,b,c)이기도 하다는거
그러니까 제가 문제를 오해한 이유가 B_i는 이미 문제상에서 구체적인 어떠한 것으로 인정이 되었다는 것을 이해못한 것에서 기인한 문제라는 것은 알겠습니다. 그럼 수열의 표현에 익숙치 않아 자꾸 이것이 햇깔리는 것 같은데, 만약 어떠한 A와 B_i들이 구체적으로 정해졌다 치고 I = {1,2}일땐 제시된 prod_{i in I}{B_i} = B1XB2가 되는 건 알겠습니다. 그렇다면 만약 I ={1,2,3}일 땐, B1XB2XB3인거죠? I의 원소가 늘어날수록 곱도 늘어나는 거구요.
네 맞아요~ 그런데 굳이 ×를 안쓰는건 I가 무한집합인 경우도 있어서 그런거