X는 topological space고
A, B는 subset of X
이 때 cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B) 임을 보이는 문제 (cl은 closure)
어렵진 않아보여서 하던대로 하기로 함.
(풀이)
우선 보여야할 것: cl(A∪B)⊂cl(A)∪cl(B)
x를 cl(A∪B)에서 뽑으면
모든 x의 nbd V가 A∪B와 intersect하기 때문에,
즉, V∩(A∪B)=(V∩A)∪(V∩B)=/=empty
그래서 V∩A나 V∩B가 공집합이 아니니까 cl(A)나 cl(B)에 들어갈거라고 생각했는데...
마지막 줄이 잘못됐다는 걸 깨달았음.
왜냐면 이게 모든 nbd V에 대해서 V∩A=/=empty 라는 걸 말하진 않기 때문에..
(만일 nbd V1, V2에 대해서 V1∩A=empty, V1∩B=/=empty
V2∩B=empty V2∩A=/=empty일 수도 있으니까)
사실은 A ⊂B이면 cl(A)⊂cl(B)임을 이용하는 문제였음..
(A∪B)⊂cl(A)∪cl(B) 이고, cl(A)∪cl(B)는 closed 이기 때문에 (이거 때문에 유한개의 합집합에서만 성립함)
closure는 그걸 포함하는 가장 작은 closed set이니까 cl(A∪B)⊂cl(A)∪cl(B)
반대방향은 그냥 하면 되는 듯함..
음.. 그래서 무한개에 대해서는 한 쪽 방향에 대해서만 성립하고.. 반례는 위의 증명과정에서 알 수 있듯이 closed set을 infinitely many union해서 closed가 안 되는 걸로 잡으면 되는듯 함..
cl(X)는 X를 포함하는 가장 작은 closed set이니까, 따라서 cl(A∪B)는 cl(A)와 cl(B)를 포함하므로 cl(A)∪cl(B)⊆cl(A∪B), 반대로 cl(A)∪cl(B)는 A와 B를 모두 포함하는 closed set이므로 closure의 정의에 의해서 cl(A∪B)⊆cl(A)∪cl(B). 따라서 두개는 같은 set