등호의 오른쪽의 식이 어떠한 식인지 잘 이해가 안갑니다.
정의에 따라 풀어쓰면 U : union, n : intersection일 때,
x in U_{i in I}{ n_{j in J} {A_i - B_j}} => for some i in I s.t. x in n_{j in J} {A_i - B_j} 인데.
x in n_{j in J} {A_i - B_j}이 class에 대해서는 I 가 이곳에서는 정의되지 않는데 어떻게 차집합을 판단할 수 있나요??
마찬가지로 두번째 식의 등호 오른쪽식도 (...)안에서는 index set이 J만 정의되어 있는데 이에 대해 이것이 어떠한 A_i에 대해서 B_j의 원소를 뺴야하는지 궁금합니다.
만약 Ai}_i in I = {A1,A2,A3}. A1={1,2}, A2{2,3}, A3={3.4},Bi}_i in I ={B1. B2, B3}, B1={1,2}, B2={2,9}, B3={7,8}이라면
이를 i = 2일 때 x in n_{j in J} {A_2 - B_j}= {3}이 라던데, 그렇다면 이때 A2- Bj에서 Bj는 이안의 모든 원소의 합집합을 의미하는 건가요?
그런데 이거는 UB_j인거잖아요.
그런데 x in n_{j in J} {A_2 - B_j}를 또 풀어쓰면 x in A2, x not in B_j for all j in J이기 때문에
x in B_j for all j in J = x in n_{j in J}{B_j}이고 이는 공집합에 해당하는데 이 class를 어떻게 봐야하나요
죄송한데 고등학교 때 이중 시그마 보신 적 없으신가요? 이거 그거랑 똑같은 거라서요.
검정고시출신이라 수능내용만 배웠습니다. 몰라요 ㅜㅠ
그래도 시그마는 배우셨죠?
네 시그마는 알아요
그러면 Sigma_{i = 1}^{3}{Sigma_{j = 1}^{3}{i * j}} = Sigma_{i = 1}^{3}{i * 1 + i * 2 + i * 3} = (1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 3) + (2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3) + (3 * 1 + 3 * 2 + 3 * 3) 이렇게 되는 걸 응용해 보세요.
Sigma_{i = 1}^{3}{Sigma_{j = 1}^{2}{f(i, j)}} = (f(1, 1) + f(1, 2)) + (f(2, 1) + f(2, 2)) + (f(3, 1) + f(3, 2))
{i=3}^{3}이 1~3까지 범위라는 것 맞죠? 말씀해주신 건 이해가는데, 그렇다면 저 식이 i=1이라면 j도 자동으로 1로 고정해서 차집합으로 하는게 정의인가요? 아 지금보니 본문에 왼쪽식이라 적어놨네요. 본문의 오른쪽 식이 이해가 안가는데, 그래도 어쨋든 두 식은 같은 것이니 왼쪽의 이해가 안간다면 오른쪽도 이해가 안가는 거라 이해가고 계속 이야기 하겠습니다.
"그렇다면 저 식이 i=1이라면 j도 자동으로 1로 고정해서 차집합으로 하는게 정의인가요?"라고 말씀하셨는데, 전혀 아닙니다 ...
Sigma_{i = 1}^{3}{Sigma_{j = 1}^{2}{f(i, j)}} = Sigma_{i = 1}^{3}{f(i, 1) + f(i, 2)} = (f(1, 1) + f(1, 2)) + (f(2, 1) + f(2, 2)) + (f(3, 1) + f(3, 2))
뭔가 말이 꼬인 것 같은데 아무튼 적어주신 식은 이해가 확실이 되요. 그런데 첫번째 오른쪽 식을 정의대로 풀면 for some i in I s.t (for some j in J s.t. x in A_i and x not in B_j)인거잖아요. 그렇다면 i =2일 때, for some j in J, x in A2 and x not in B_j => x in A1 and for all j in J s.t. x not in B_j => x in A1 and x not in n_{j in J} {B_j}라 i = 2일 땐 A2 원소 그대로 나와야 하는데 아니잖아요 문제는. 이게 잘못된 논지 전개인가요? 형식상으로 풀면 이렇게 나올 수 있을 것 같은데.. 말을 다음 댓글에서 이어가겠습니다.
말씀해주신 원리로 풀면 U_i in I {Ai-B1, A_i - B2, A_i -B3} << 이런식으로 풀라는 것 같은데 이게 원래 그렇게 약속된건가요? 제가 영어가 약해서 문장을 풀었을 때의 의미랑 이 함수는 뭔가 다른것 같아서요.
U_i in I {Ai-B1, A_i - B2, A_i -B3}가 아니라 U_{i in I}{(A_i - B_1) n (A_i - B_2) n (A_i - B_3)}가 우변과 같습니다.
그나저나 검정고시 출신이시고 수학과도 아니신데 집합론 공부하시는 게 굉장히 멋있네요!! 응원합니다!!
감사합니다 ㅜㅠ 폐가 안된다면 한가지만 더 물어보겠습니다. ㅜ a의 오른쪽 식을 풀어쓴다면 for some i in I s.t. x in n_{j in J} {A_i - B_j} => for some i in I, { for all j in J, x in Ai and x not in Bj} => for some i in I, {x in Ai and for some j in J s.t x not in Bj} 가 가능하지 않나요? 어차피 { }안에서 Ai는 j와 상관없기 때문에 위치가 자유로워도 될 것 같은데 이렇게 된다면
{ x in Ai and x not in n_{j in J}{B_j} } => {x in A_i - n_{j in J}{B_j} } 이게 가능해져서 n_{j in J}{B_j}이것은 공집합이기 때문에 결국 이는 family Ai의 union과 다를 바 없이 될 것 같은데, 분명 답은 이것과 다르니 논지전개가 안된다는 거겠죠. 아마 문장 for all j in J 의 위치가 바꾸는게 문제일 듯 한데, 뭐가 문제인가요?
아 맞다. 까먹고 있었네요 ... 죄송한데, 수식을 한글과 컴퓨터로 쳐주시면 안 될까요? 제가 눈이 너무 침침해서 ...