suppose that the second fundamental form of a simple surface X is zero everywhere.
prove that X is an open subset of a plane.
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숙제 아니다.

3일전부터 조금씩 보고 있는데 계속 안풀린다. 정신 나갈것같은데 누가 도움좀 줘



일단 문제에서 요구하는건 두개임.
1. X가 plane에 있음을 증명하는것
2. X의 image가 open임을 증명하는것임.


1번을 위해 r(t) = X(r1, r2)를 X의 image에 속하는 임의의 curve라고 하자.

우선 r이 plane curve임을 보이고 그 다음 임의로 curve r1, r2를 잡고 얘네들이 같은 평면에 속해 있음을 보이면 X가 평면에 들어가 있음이 증명될거임. 맞지?


하지만 r이 plane curve임을 보이는 것 조차 잘 안된다. 주어진 조건에서 normal curvature = 0 임을 바로 알 수 있지만 여전히 geodesic curvature이 남아있어서 r''이 상수임을 보일수가 없음..


뭘 어째야 할지 보이지도 않고 감도 안온다 어쩌면 좋냐..