수학이란 학문이 생각보다 엄밀하진 않은 것 같아요
물론 겉핥기도 못한 수준이라서 이런 말을 할 자격도 없지만... 진짜 코딱지만큼 공부해본 결과 증명이나 발상들이 내가 기대했던 것처럼 엄밀하지 않다? 라는 느낌?
수학을 배우려고 맘 먹기 전에는 와 엄청날 거야 뭔가 2000% 엄밀하고 엄격하게 절대적인 진리처럼 증명해줄 거야 라고 생각했는데 막상 배워보니까 그래도 사람이 만든 학문이구나 싶어용,,, 뭔가 딱 떨어지고 a는 ~~해서 b야! 가 아니라 a는 사실 ~~해서 ~~하고 ~~야... 근데 2000% b라고 말하기는 좀?? 표현이 구데기긴 한데 바보라서 한계가 있으니 이해해주세요 ㅎㅎ
그냥 공부하다가 갑자기 생각나서 적어봤어요 어디다가 이런 얘기 해보고 싶은데 해볼 데도 없구 해서요
집합론을 공부한다음 책에 말로 줄줄 써져있는걸 집합으로 표현해봐. 그럼 논리적으로 완벽하게 딱딱 맞아 떨어져. 물론 학부생이 배우는 수준에선 그런데 실제 논문들이나 그런데서는 가끔 오류가 나오긴 한대 아무래도 사람이 100%완벽할순 없으니까. 근데 너가 배우는 정도의 수학은 이미 검증할대로 검증된 영역이야. 단지 너한테 직관적으로 이해시킬려고 설명을
수학은 엄밀한데?
엄밀하지 않은 수학은 수리논리학이랑 비표준수학밖에 없음. 수리논리학은 몇개의 증명불가능한 참인 공리를 기반으로 구축되었고, 그 공리를 참으로 가정하여야 우리가 아는 많은 수학을 의미있게 설명할 수 있음. 이 때문에 고등학교수학과 대학수학에서 맨 처음으로 배우는 것이 집합론임.
비표준수학은 엄밀하지 않음. 이런수학은 너가말한대로 직관적으로 이해하기위해 만들어진 개념임. 대표적으로 미분소라던지 고등수학에서의 극한과 적분이라던지. 이런개념은 수학적 체계가 집대성하기전에 많은수학자와 물리학자들이 사용한 개념(대표적으로 뉴턴)으로 19세기 20세기에 많은 거인들에의해서 표준화됨
그렇게 하는것 뿐이지. 사실 논리적인것보다 수학적인 아이디어를 이해시키는게 더 중요하거든. 아이디어가 있으면 정확하게 표현하는건 나중에라도 할수 있으니까...
혹시나 해서 하는 말인데 미적분 듣고 이러는거면... 초등 정수론을 공부해봐
음... 제가 표현을 정확하지 못하게 한 것 같네요. 댓글 보구 곰곰히 생각해봤는데 한계가 많다? 라고 해야 될 것 같아요. 그냥 막 좀 더 고등적인 단계로 나아가면 그동안 답답했던 것들이 딱!하고 해결될 것 같았는데 그러지 않더라구요. 일단 받아들여 그리고 나중에 이러이런 거 배우면 증명할 수 있어 하는데 배워도 배워도 남아있는 느낌? hypergeometric function 세션 우연찮게 들을 기회가 있었는데 아 저런 천재들도 못하는 게 너무 많구나 싶어서요 물론 phd 따고 스스로 공부할 수준 되면 자기 분야 외에 모르는 게 당연하지만 파도파도 언젠가 완벽하게 증명할 수 있을까? 싶더라구요
흐음 배워도 배워도 증명에서 빠진부분이 남아있진 않을텐데 보통.. 보통은 특별한이유가 없으면 배우는 내용에 대해서는 완벽하게 증명을 하고 갈걸?근데 만약 그렇다고 치고 너가 그런 빈틈을 느끼고 메우고 싶다고 느끼면 직접 증명을 시도해 보는것도 좋은 공부일거야
LEAN이라는 증명보조기를 배워보시는 걸 강력히 권해드립니다.
혹시 간접증명을 인정 못하는 거면 네 생각이 맞음. 수학의 대부분 증명은 순환논법적 돌려막기랑 선택지 분류해서 나머지가 아니니까 이게 맞아. 위 2가지가 대부분임.그래도 최대한 2가지를 줄여볼려고 노력한 결과가 현대수학임.