숙제 아님. 뭐좀 증명하다가 내 증명이 마음에 안들어서 다른 방법 찾다가 나온거임.
생각한건 정리는 이거임. <는 포함관계로 이해하면 된다
let A be a path connected subspace of X
if there is B s.t. A < B <=/= cl(A) and B is not path conneted, then cl(A) is not path connected
참이 아닐지도 모른다는 생각이 들어서 반례를 찾아보려고 한다.. 반례 있음?
반례 있을 거 같긴한데
일단 구 두개를 한점에 갖다 붙이고 topology를 한쪽 구의 표준 위상이랑 다른쪽 구 전체만 갖고 생성하자. A를 표준위상을 가진 구로 하면 이거의 closure는 무조건 구 두 개의 합집합이어야함. B를 A랑 다른 구의 아무 점의 합집합이라 하면 반례가 된다.
topologist sine curve에 (0,1)이랑 (1,1) 잇는 선분 추가하고 (0, 1) 빼셈
이걸 A로 하고 B는 A에 (0,0)같은 점 하나 추가한걸로 하면 B는 분명히 path connected는 아니지만 cl(A)는 path connected네 topologist sine curve는 진작에 생각했었는데 이렇게 하면 될줄 몰랐다. ㄱㅅㄱㅅ 세련된 증명의 여신은 날 버렸구나. ㅋㅋ
결국엔 closure A와 A의 점을 잇는 curve가 endpoint 빼고 A 내부에 놓이게 할 수 있나? 를 해결하면 되는거라 강제로 curve가 boundary를 거칠수밖에 없게 만들면 됨
앗 저 반례찾는 아이디어.. 위에 선을 긋는 아이디어.. 사용할 수 있어!! 증명의 여신님이 나를 봐주셨어! 아! 이제 내가 짧은 증명을 쓸 수 있다!