[일반] 해석학 부탁드립니당.

[익명(175.197)]

극한이 다른 서로 다른 두 부분수열이 있으면 그 수열은 발산하잖아?

근데 그럼 역으로 유계이고 수렴하지 않는 수열이 있으면 그 수렴하는 부분수열 중에서 극한값이 서로 다른 부분수열이 존재하는게 맞는거야? 맞는거 같긴 한데 어떻게 설명이 안되네. 

[익명(110.76)]

limsup 개념을 공부하면 질문이 해결될듯

[익명(147.46)]

응 맞음. 볼차노바이어슈트라스 섞어쓰면 된다

[익명(220.78)]

그 수열 X의 도집합(수렴하는 부분수열들의 극한들의 모임)을 S라 해보자. 유계수열이므로 볼차노바이어슈트라스에 의해 S는 공집합이 아님. 그리고 S 또한 유계임. (임의의 수렴하는 부분수열이 유계니까, 부등호에 극한 적용) 따라서 S의 상한과 하한을 생각할 수 있음. 여기서 특이한 게 S의 상한과 하한이 모두 S의 원소라는 정리가 있음. 그래서 S의 상한, S의 하한에 각각 수렴하는 부분수열이 존재함 이게 맨 윗놈이 말한 상극한과 하극한임.

[익명(220.78)]

이거 쓰기 싫으면, '수열의 극한이 a로 수렴하지 않는다'에 대한 동치명제로 부분수열에 관한 명제가 있는데, 그 부분수열이 a로 수렴하지 않으니까 a+ε보다 큰놈과 상계(유계니까 상계 있음) 사이, 그리고 a-ε보다 작은놈과 하계 사이 각각에서 부분수열 (유계니까) 잡으면 됨