정확한 질문은, 구간 I에서 정의된 연속 실함수 f에 대해, f가 단사인 것과 f가 순단조인 것이 동치인가? 임.




나는 직관적으로 맞는거 같은데, 만약 실제로 맞다면 이렇게 깔끔한 명제가 왜 해석학에서 소개되지 않는지도 의문임..

왜냐면 해석학에서 연속역함수정리와 역함수미분법에서 '연속인 순단조'부분이 둘 다 나오는데,

여기서 순단조라는건 그저 역함수의 존재, 그러니까 단사성을 위한 조건이라고 생각해서 너무 인위적이지 않나 하는 의문이 들었음.


그래서 생각한게 왜 연속인 '단사함수'가 아니라 굳이 순단조라는 조건을 붙였을까? 임

그래서 연속함수는 단사와 순단조가 동치임을 증명해보고자 했음.

구글에다 대충 쳐봐도 그럴듯한 내용이 없어서 별 수 없이 증명해보기로 했음. 근데 보면 알지만 상당히 난잡함.

아래에 증명했는데, 만약 위의 명제가 맞다면 진짜로 맞는지 알려주면 감사하겠고, 더 나아가 더 간단한 증명이 있는지 소개해주면 감사하겠음.

만약 위의 명제가 틀리다면 증명의 어디가 틀렸는지 봐주면 감사하겠음.

(그런데 trivial하게 맞다 하고 퉁치지는 말아주셈. 해석학 공부하면서 trivial 하게 보이는것이라도 증명이 어렵다는걸 느끼는 중임)


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Q. 구간 I에서 정의된 연속 실함수 f에 대해, f가 단사인 것과 f가 순단조인 것이 동치인가?


먼저 순단조일때 단사인건 책에서도 있으니 넘어가고, 단사이면 순단조임을 보이는게 중요하다고 생각했음.

그래서 귀류법으로 순단조가 아니라고 가정해서, 다음을 만족하는 I에서의 점 a, b, c, d가 존재한다고 시작했음 : a < b 이면서 f(a) > f(b), 그리고 c< d 이면서 f(c) < f(d)

이 때, a=c 이면서 b=d인 경우는 없음을 알 것임. 따라서 a=c라면 b는 d과 같지 않고, b=d라면 a와 c가 같지 않음을 생각해주셈.



우선 관심을 구간 I에서 저 네 점 a, b, c, d가 포함된 최소 구간인 유계폐구간 J로 축소시키겠음.

J를 굳이 서술해보자면 a, b, c, d 중 최소인 점 m과 a, b, c, d 중 최대인 M에 대해 J = [m,M]라 쓸 수 있겠음

이때 J가 I의 부분구간임은 명백함.



일단 이 문제를 해결하기 위해 몇 가지 경우를 살펴보기로 했음.

가령 a가 a, b, c, d 중 최소인 경우는 6가지가 나옴

네 점이 서로 다른 경우

abcd, acbd, acdb

b=d인 경우(a=c가 아님)

acb

a=c인 경우(b=d가 아님)

abd, adb


그런데 이 모든 경우에서 대략적인 점을 xy평면에 찍어보면, 구간에서의 연속함수로서는 결코 단사함수가 될 수 없는 형태가 나옴. (감소하다가 증가, 증가하다가 감소)

그래서 f(a), f(b), f(c), f(d) 중 최댓값을 가지는 점이 구간 J의 경계에 있냐, 중간에 있냐로 경우를 나누었음.

이 때, 네 점 a, b, c, d는 최소한 세 점이 서로 다르기에, 경계를 담당할 두 점에 대해 나머지 하나 또는 둘의 점이 구간 J의 중간에 있음을 기억해주셈.


만약 저 네 값중 최대가 구간 J의 중간에 있는 경우, 적어도 구간의 왼쪽끝과 오른쪽끝은 얘보단 작으니까 " ∴ " 형태로 점이 찍히니 연속함수에 대한 중간값 정리로 f가 단사가 아님을 밝힐 수 있음. 따라서 가정에 모순.


만약 저 네 값중 최대가 구간의 끝에 있는 경우, 나머지 셋 또는 둘의 값이 얘보다 작다는 뜻이므로 f(a)~f(d) 중 최소는 구간의 나머지 경계 또는 구간의 중간에 있음.

그런데 최소가 경계가 아니라 중간에 있는 경우는 위와 마찬가지로 모순임을 보임.

따라서 최소 또한 경계에 있다는 결론이 나옴. 즉, f(a)~f(d) 중 최대와 최소가 모두 경계에 있다는 뜻임.


그런데 구간 J의 점 중에서의 최소(왼쪽경계)인 m은 a, b, c, d 중 하나이므로 a<b, c<d에 의해 m은 a나 c 중 하나임. 이제 경우를 나누어보겠음.


경우1) m=a

앞의 결론에서, J의 경계에서 f(a)~f(d) 중 최대 또는 최소가 있다고 한 점과 더불어 f(a)>f(b)이므로,

f(a)~f(d)중 최대는 J의 왼쪽 끝에 있는 셈임. 따라서 최소는 J의 오른쪽 끝에 있어야 함.


따라서 f(b)<f(a), f(c)<f(d)이므로 b나 c중 하나가 M이 되어야 함.

그런데 a<b, c<d에 의해 M의 후보는 b나 d여야함. 따라서 M=b여야 함.

그러면 넷의 위치관계는 a < c < d < b 또는 a=c < d < b 또는 a < c < d=b 임.


그런데 a=c 또는 d=b인 경우는 위에서 설명한 '구간 J의 경계가 아니라 중간에 f(a)~f(d) 중 최대 또는 최소를 가지는 경우' 즉 모순인 경우가 되기에 모순.

따라서 a < c < d < b만 살펴보면 되는데 이 때에는 구간 K=[c,b]에 대해 c < d < b 의 관계에서, f(c) < f(d) 이고 f(d) > f(b) 에서 역시 최대가 K의 경계가 아닌 K의 중간에 있으므로 위의 J에 대한 논리와 유사한 논리로 모순. (f(d) > f(b)인 이유는 f(b)가 f(a)~f(d)중 최소랬으므로)


따라서 m=a에서 모순을 이끌어냄.



경우2) m=c인 경우

이 때에는 J의 왼쪽경계가 최소, 오른쪽 경계가 최대라는 결론을 얻어서 경우1과 유사한 논리에 의해 모순임


따라서 모든 경우에서 모순임을 밝혔으므로, f가 순단조라는 결론을 얻음.