[일반] x²=2를 만족하는 실수 x의 존재성증명은 어케해?

[익명(118.235)]

ㅈㄱㄴ..

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[AKIRAx(chrislee93)]

Completeness

[익명(141.223)]

xn^2 ->2로 가는 코시 유리수열을 잡아야지

[ALTa(tladud123)]

대수적으로 본다면... 유리수만 있다고 가정한 상태에서 루트2는 존재하지 않지. 그런 수가 존재한다고 가정하고 (제곱해서 2가 되는 수 = 루트2) 수 체계를 유리수에서 확장시킬 수 있는거고

[ALTa(tladud123)]

물론 이 방식은 대수적 수까지는 구성할 수 있지만 실수나 복소수를 구성할 수는 없는데, 실수에서의 존재성 증명이라는 표현보다는 실수의 구성 방식이라고 쓰는게 나을 것 같다. 완비성이든 코시수열의 동치류든 데데킨트 컷이든 실수를 구성하는 방법은 다양한데, 아무튼 그런 방법으로 실수를 정의하고 나면 루트2로 가는 수가 실수에 있음을 보이는 건 쉽다

[익명(121.88)]

실수의 정의에 따라서 바운디드 섭셋은 항상 sup, inf 존재하기 때문에 유리수들 중에 제곱해서 2보다 작은애들 다 모은 집합의 sup이 2보다 큰애들 집합의 inf과 같다는것 보이면 끗