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어떤 R^2의 subspace의 closure가 path connected가 아님을 증명하려고 한다.



먼저 A_1을 사진에서처럼 정의하면 A1은 분명히 path connected임.

사진에서 볼 수 있듯이 A_n은 A_(n-1)에 대해 귀납적으로 정의 가능함. A_(n-1)에 x축 직선과 y축 기둥을 합집합하면 된다.

물론 각각의 A_n 역시 path connected임을 확인할 수 있다.

이제 A = union(A_n) 으로 정의하자. 


각각의 A_n이 path connected이고
intersection(A_n) = A_1, nonempty 이므로 A 또한 Path connected임.


이제 cl(A)를 생각하자. A (union) {0}x[0,1] = Cl(A)
임을 알 수 있음.



문제는 cl(A)가 path connected가 아님을 증명할 때 일어남.



분명히 직관적으로는 path connected일 수가 없다고 생각하는데.. 이게 증명하려니 잘 안됨. 아래는 내가 생각한거임

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(0,0) 에서 (1,0)으로 가는 cl(A) 내부의 path가 존재하지 않음을 보이자.
(0,0)에서 (1,0)으로 가는 connected map이 존재하지 않음을 보이면 된다. (path의 정의)


일단 0,0에서 출발해서 위로 꺾어서 다시 오른쪽으로 가는 path는 불가능하다. 왜냐하면 각각의 기둥
{(1/n , y) | y>=0} 은 서로 떨어져 있기 때문이다.(기둥 사이의 무리수를 생각)


그러므로 만약 parh가 위로 올라갔다면 다시 내려오는 것 외에 다른 선택지는 없다..


우리가 찾는 path는 한번 지난 점을 두번은 지나지 않는다고 가정해도 상관 없을 것이다.


그러므로 만일 (0,0)에서 (1,0)으로 가는 path가 존재한다면 아래쪽 길

(union)([1/(n+1) , 1/n] x {0})

만을 따라서 가야 한다.


f를 각 [1/(n+1), 1/n]에서 0으로, 0 에서 0으로 주면.. 연속인데?

아니 그럼 뭐야 path가 존재하는건가? 어?
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뇌정지옴.

생각해보면.. {(0,0)} (union) {(x, xsin(1/x) | 0 < x <=1}

이런 subspace 생각해보면 path connected잖아?
xsin1/x가 연속이니까..


내 문제도 이것과 비슷하다고 봐야 하나? 아님 역시 path connected가 아닌거야?