그냥 한 예로 x가 0으로갈 때 sinx/x의 극한을 구하기 위해 로피탈을 쓰려고 함.

(그냥 로피탈 문제의 전형적인 예시를 들기 위해 이 예시를 가져온 것 뿐임)





내가 알기로는 로피탈 조건이, 가령 f를 sinx, g를 x라 두면


1) 적당한 열린 구간을 잡되, 그 구간의 내점 혹은 끝점에 확장실수인 0이 있어야 하며

2) 그 구간에서 f,g 가 미분가능하고

3) 그 구간에서 g와 g' 모두 0이 아니어야하며

4) 그 구간에서 0/0꼴 또는 무한/무한 꼴이어야 하며

5) 그 구간에서 x가 0으로 갈 때의 f'/g'의 극한이 확장실수값으로 존재


할때, 주어진 구간에서의 f/g의 극한값이 주어진 구간에서의 f'/g'의 극한값과 같다는 걸로 알고 있음.





근데 로피탈 조건 중, 저 예시는 잡아야 하는 구간의 내점에 0을 절대 포함할 수 없잖음? (3번 조건에 위배)


그래서 어쩔 수 없이 (0,b) 와 (a,0) 으로 구간을 나눠서 (a,b는 조건 만족하도록 알아서 잡을 수 있으니 생략 ㅇㅇ)


(0,b)에선 0이 우집적점이고 좌집적점은 아니니, 해당 구간에서 x가 0으로 간다는건 x가 0의 오른쪽에서 다가간단 뜻이 되며 따라서 본래 극한의 우극한 값을 해당 구간에서의 로피탈로 구하고,

(a,0)에선 0이 좌집적점이니까 유사하게 본래 극한의 좌극한 값을 해당 구간에서의 로피탈로 또 구한 뒤


이제 A = (a,0) ∪ (0,b)에서 0이 좌,우집적점이면서 좌극한과 우극한이 같으므로 본래 극한이 존재하여 해당 좌우극한값과 같다





라고 답을 존나 길게 쓰는게 과연 맞나 싶어서 질문함.


아니 바틀책 보면 이 부분에 대해서는 '좌극한 우극한을 모두 고찰할 필요가 있다'하면서 퉁치고 넘어가고, 또 다른 책도 있는데 여긴 아예 언급조차 안함.


심지어 어느 책에서도 연습문제 해설에 위에 언급한 '구간'을 어떻게 잡느냐에 대한 언급이 없음.


진짜 양측극한은 어떻게 로피탈의 정리를 활용해야함?


내가 복잡하게 생각하는거임? 아니면 더 쉬운 방법이 있음??






한 쉬운 방법이라 추측되는 생각을 해봤음. 예를 들면 0이 좌우집적점이 되는 한 집합을 찾아서 해당 극한이 값은 밝혀야 하겠지만 존재성만 따로 밝히고,


해당 집합에서 극한이 존재하므로 그 값은 한쪽극한값과 같다 이래버린다는것도 생각해봤는데


애초에 함수의 극한의 존재성을 극한값을 이용하지 않고 밝히기 어려움.... 게다가 f/g는 0에서 정의되지 않으니 0에서 연속이므로 극한이 존재한다 이래버릴수도 없고, 물론 0에서 연속이 되도록 정의할수야는 있겠지만 그게 극한값을 구하는것과 다름없는 상황이니 이건 쓸모 없고...


이 상황에 대해서 어떻게들 생각하는지 궁금함. 몬가 더 간단한 방법이 있을 거 같은데 그걸 잘 모르겠음