우리는 왜 통계조사를 할까?

사실 '전수조사'가 항상 가능하다면 통계학도 발전할 필요가 많이 없었을 것이다.

하지만 모집단의 크기가 크면 클수록, 전수조사는 불가능에 가까워진다.

그래서 우리가 하는 것은 전체 중에 일부만 뽑아서
그 뽑힌 일부의 특성(주로 평균과 분산(or표준편차))을 '측정'한 뒤
그 값을 가지고 모집단의 특성(평균, 분산)을 '추정'하게 된다.

(물론 이 과정에서 그 일부(=표본)를 잘 뽑아야 한다는 문제가 있긴 하다. 표본이 random할수록 모집단을 잘 반영하고, 한쪽에 치우쳐져 있을수록 모집단을 잘 반영하지 못한다.
하지만 표본선택의 문제는 지금 다룰 것은 아니니 넘어가자)

모집단 = 추정하고자 하는 전체 집단
모평균 = 모집단의 평균
모분산 = 모집단의 분산

표본 = 전체 집단에서 선택하여 뽑은 일부
표본평균 = 표본의 평균
표본분산 = 표본의 분산

여기서 중요한 것은 표본은 뽑을 때마다 다른 값을 가질 수 있다 는 것이다
모집단의 수가 100명에, 5명의 표본을 뽑는다면 표본을 뽑는 경우의 수는 최대 100C5겠지
('최대'인 이유는, 모집단이나 표본에 같은 값을 갖는 사람이 있을 수도 있으니까)

그렇다면 표본평균역시 (표본이 달라질 때마다) 다른 값을 가지게 될 것인데,
뽑을 때마다 다른 값을 가질 수 있는데 그 값이 확률적으로 달라진다... 어라?
그렇다. "표본평균은 하나의 확률분포이다"

이걸 먼저 이해하고 나면 그 다음이 쉬워지는데,
모든 표본이 가질 수 있는 경우를 다 생각한다면, 표본평균도 가질 수 있는 경우가 다양할 것이기 때문에,
표본평균도 '평균'과 '분산'을 가질 것이다.

표본평균의 평균 = 모든 표본평균을 고려한 뒤 계산한 그들의 평균
표본평균의 분산 = 모든 표본평균을 고려한 뒤 계산한 그들의 분산
표본평균은 평균이 mu(=모평균), 분산이 sigma^2/n (sigma = 모표준편차, n = 표본의 크기)인 분포가 된다.

(표본평균이 어떻게 분포되어 있는지는 모른다. 우리가 아는 것은 표본평균의 평균과 표본평균의 분산 뿐)
여기서 왜 표본평균의 분산이 sigma^2/n 일까?

표본평균은 표본값 X_i의 n개들의 평균이기 때문에, (Sum X_i)/n이 되고, 이 값에다가 분산을 취해줬기 때문에, 분모에 n^2이 나오게 되는데, 각 표본 X_i들의 분산의 평균은 모분산이므로, 분모에 n하나가 사라지게 되어 sigma^2/n가 표본평균의 분산이 된다.

표본분산의 평균이 왜 모분산인가? 그것은 나중에...

아무튼 여기서 중심극한정리라는 것을 써보면, (고교과정에선 증명 안하고, 대학교 학부 통계학 수업 들으면 배움)
'모집단의 분포와 관련 없이' 표본평균은 표본의 크기가 커질수록 정규분포를 따른다.
여기서 알아야 할 것은 표본평균의 분포를 통해 모평균을 추정 가능한거지, 모집단의 모든 성질을 추정 가능한 것은 아니다.

아무튼 그래서 표본평균 값을 가지고 모평균과 모분산을 추정하는게 가능해진다. 왜냐고? 표본평균은 정규분포로 근사가 가능하니까.

그래서 표본평균이 N(mu, sigma^2/n)인 정규분포를 따른다고 가정하고, 특정한 표본에서 얻은 특정표본평균값을 통해 역으로 모평균 mu와 모표준편차 sigma를 추정하게 된다.

쓰다보니 길어졌는데 읽을까 모르겠네
학부생 이상은 다 아는 내용일테니 걸러도 좋다
고등학생만 읽어라


추가로 요약하자면,
모집단과 표본의 분포는 모르지만, 표본평균의 분포는 (n이 크다면) 정규분포로 근사가 가능하므로, 표본평균을 이용해서 모평균과 모분산을 추정한다

가 핵심입니다