내가 갖고있는 해석학 책이 3개뿐인데, 하나는 부정적분에 대한 언급 자체가 없고 두 개가 정의가 다름.

(편의상 부정적분 기호를 int, [a,b]에서 정적분(리만적분) 기호를 int a to b 라 표기하겠음.)



1번정의) (적당한 구간에서) 함수 f가 리만적분 가능일 때, f의 역도함수를 f의 부정적분이라고 하며 int f(x) dx 라 표현한다.

2번정의) [a,b]에서 함수 f가 리만적분 가능일 때, F(x)= int a to x f(t) dt (x∈[a,b]) 라 정의되는 함수 F를 '기점이 a인 f의 부정적분'이라고 한다.

(기점을 [a,b]의 임의의 점으로 확장할 수도 있음)



아마 대부분 1번 정의로 부정적분을 알고있다고 생각함. 고등학교때도 이렇게 배웠고 복소함수론에서도 저렇게 정의하는걸로 알고있음.

그리고 나는 얼핏 생각해보니 1번과 2번이 같은 정의처럼 보였음.

그런데 책을 보니 실해석학에서는 연속함수가 아니면 1번과 2번이 정의가 다를 수도 있음을 깨달았음.



고등학교나 미적분학에서 배운 함수 f가 [a,b]에서 연속일 때의 미적분학의 기본정리가 아니라,

함수 f가 [a,b]에서 리만적분가능할때의 조금 더 일반화된 미적분학의 기본정리를 살펴보면, 위에서 정의한 함수 F는 f가 (a,b)에서 연속이어야 F'(x)=f(x)임을 설명해주고 있음. 즉, 2번정의로는 F가 f의 역도함수라는 1번정의를 완벽히 설명하지 못한다는 것임.



일단 역사발생적으로 살펴보면, 2번정의가 더 근본적인 정의같음. 애초에 1번 정의는 미적분학의 기본정리를 미리 염두에 둔 듯한, 즉 미분과 적분이 관계가 있음을 애초부터 암시하는 정의니까 덜 근본적이라고 생각함. (이와 관련된 논문 하나를 찾았음 댓글에도 링크 달아둠 : https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO200931559904911&dbt=NART )

그런데 실제 사용 빈도는 1번 정의가 가장 많지 않음? 게다가 2번 정의를 택하게 되면 다음과 같은 문제가 발생함.

리만 적분 가능한 함수가 항상 부정적분을 갖게 된다는 명제가 성립한다는 것임.



잠깐 첨언하자면, 임의의 함수가 역도함수가 될 수는 없음. 왜냐하면 다르부(Darboux)의 정리로 인해, 항상 도함수는 다르부성질(중간값성질)을 가지기 때문에, 예로 리만 적분이 가능한 부호함수(x>0에서는 1, x<0에서는 -1, x=0에서는 0이라고 정의되는 함수)의 역도함수는 존재하지 않음.

따라서 부정적분의 1번 정의에 의해서는 '리만 적분 가능한 함수는 항상 부정적분을 갖는다'는 명제가 거짓이지만

부정적분의 2번 정의에 의해서는 위의 명제가 참이 되어버림.


그러니까 부호함수의 부정적분이 존재한다고 해야 좋을까, 존재하지 않는다고 해야 좋을까? 라는 문제로까지 번지게 됨.




그래서 여기 갤러들은 어떻게 생각하는지 궁금함.

부정적분의 정의를 1번 정의로 알고 있는게 좋을까, 2번 정의로 알고 있는게 좋을까?


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논문 읽기 귀찮은 갤러들울 위해, 또 나도 정리도 할겸 위의 논문을 살짝 요약한 걸 아래에 써두겠음.


Courant라는 사람은

미분의 역을 적분으로 제시하는 기존 교재들을 비판했음.

그러면서 부정적분과 원시함수(역도함수)를 구분할 것을 주장함. (1번정의와 2번정의의 구분한 뒤, 2번 정의를 주장함)


물론 역사발생적으로도 미분의 역을 적분으로 간주했었음. 18세기까지는 그러했었음.

이러한 관점은 모든 함수의 부정적분을 구할 수 있다는 것을 암묵적으로 전제함에서 출발했음.

또 여기에는 모든 함수가 멱급수로 전개될 수 있다는 것이 전제되어 있었음.

즉, 항상 함수가 멱급수 전개가 되기 때문에 항별로 적분하여 부정적분을 구할 수 있다는 것임


그러나 18세기 중반 이후 편미분방정식을 다루게 되어 점차 원시함수(역도함수)를 구하기 힘든 함수가 등장함.

그 결과 적분을 미분의 역으로 간주하는 관점의 한계가 드러나게 됨.

그 결과 수학자들이 적분으로서 부정적분보다 정적분에 주목하게 됨


푸리에는 불연속 함수의 정적분을 고려하면서 18세기식 적분 개념을 폐기하게 되는 중대한 단초를 마련함

즉, (리만)적분가능한 불연속 함수들의 그래프와 x축 사이의 넓이를 부정적분으로 계산할 수 없으며,

부정적분을 언제나 찾을 수 있는 것이 아니므로

부정적분을 모든 함수에 대한 적분의 정의로 간주하는 것이 불가능하다는 것임.

그래서 푸리에는 넓이를 이용하여 적분을 설명함.


또한 코시는 연속함수를 이용하여 푸리에가 제기한 관점에 부합하는 정적분을 확립함.

"임의의" 함수가 연속이라면 (a~b의 정적분)이 확정된 값을 가진다는 것을 보여줌.(리만적분가능)

즉, 적분의 존재가 함수식에 의존하지 않는다는 것임 ("임의의" 연속함수니까)


이에따라 코시가 최초로 정적분을 엄밀하게 정의하면서 원시함수(역도함수)의 존재성을 보장할 필요성에 대해 지적함.

즉, 정적분을 정립함으로서 부정적분을 엄밀하게 다룰 수 있게 된 것.

적분에서 합개념이 우선적인 관념이 되고 정적분이 미적분에서 우선적인 연산의 자리를 차지하게 됨.

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결국 역사발생적으로 적분으로서 부정적분을 근본으로 다뤄왔으나, 세월이 지나면서 적분의 근본을 정적분에 두어, 정적분에 대한 개념을 꾸준히 발전시켜왔음.

이 과정에서 부정적분은 거의 버려지다시피하여 관심이 없었으나, Courant라는 사람이 1번 정의와 2번 정의를 구분한 뒤, 2번 정의를 사용하기를 주장했다는 내용임.